Свойства определенного интеграла.

Вычисление определенного интеграла очень часто проводится с использованием первых пяти свойств, так что мы будем при надобности на них ссылаться. Остальные свойства определенного интеграла, в основном, применяются для оценки различных выражений.

Прежде чем перейти к основным свойствам определенного интеграла, условимся, что a не превосходит b.

1. Для функции y = f(x), определенной при x = a, справедливо равенство .

   То есть, значение определенного интеграла с совпадающими пределами интегрирования равно нулю. Это свойство является следствием определения интеграла Римана, так как в этом случае каждая интегральная сумма  для любого разбиения промежутка [a; a] и любого выбора точек  равна нулю, так как , следовательно, пределом интегральных сумм является ноль.

2. Для интегрируемой на отрезке [a; b] функции выполняется .

   Другими словами, при перемене верхнего и нижнего пределов интегрирования местами значение определенного интеграла меняется на противоположное. Это свойство определенного интеграла также следует из понятия интеграла Римана, только нумерацию разбиения отрезка следует начинать с точки x = b.

3.  для интегрируемых на отрезке [a; b] функцийy = f(x) и y = g(x).

   Доказательство.

   Запишем интегральную сумму функции  для данного разбиения отрезка и данного выбора точек :
    
   где  и  - интегральные суммы функций y = f(x) и y = g(x) для данного разбиения отрезка соответственно.

   Переходя к пределу при  получим , что по определению интеграла Римана равносильно утверждению доказываемого свойства.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла. То есть, для интегрируемой на отрезке [a; b] функции y = f(x) и произвольного числа k справедливо равенство .

   Доказательство этого свойства определенного интеграла абсолютно схоже с предыдущим:
   

5. Пусть функция y = f(x) интегрируема на интервале X, причем  и , тогда .

   Это свойство справедливо как для , так и для  или .

   Доказательство можно провести, опираясь на предыдущие свойства определенного интеграла.

6. Если функция интегрируема на отрезке [a; b], то она интегрируема и на любом внутреннем отрезке .

   Доказательство основано на свойстве сумм Дарбу: если к имеющемуся разбиению отрезка добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу не уменьшится, а верхняя – не увеличиться.

7. Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке [a; b] и  для любого значения аргумента , то .

   Это свойство доказывается через определение интеграла Римана: любая интегральная сумма для любого выбора точек разбиения отрезка и точек при  будет неотрицательной (не положительной).

   Следствие.

   Для интегрируемых на отрезке [a; b] функций y = f(x) и y = g(x) справедливы неравенства:
   

   Это утверждение означает, что допустимо интегрирование неравенств. Этим следствием мы будем пользоваться при доказательстве следующих свойств.

8. Пусть функция y = f(x) интегрируема на отрезке [a; b], тогда справедливо неравенство .

   Доказательство.

   Очевидно, что . В предыдущем свойстве мы выяснили, что неравенство можно почленно интегрировать, поэтому, справедливо . Это двойное неравенство можно записать как .

9. Пусть функции y = f(x) и y = g(x) интегрируемы на отрезке [a; b] и для любого значения аргумента , тогда , где  и .

   Доказательство проводится аналогично. Так как m и M – наименьшее и наибольшее значение функции y = f(x) на отрезке [a; b], то . Домножение двойного неравенства на неотрицательную функцию y = g(x)приводит нас к следующему двойному неравенству . Интегрируя его на отрезке [a; b], придем к доказываемому утверждению.

   Следствие.

   Если взять g(x) = 1, то неравенство примет вид .

10. Первая формула среднего значения.

    Пусть функция y = f(x) интегрируема на отрезке [a; b],  и , тогда существует такое число , что .

    Следствие.

    Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то найдется такое число , что .

    Первая формула среднего значения в обобщенной форме.

    Пусть функции y = f(x) и y = g(x) интегрируемы на отрезке [a; b],  и , а g(x) > 0 для любого значения аргумента . Тогда существует такое число , что .

11. Вторая формула среднего значения.

    Если на отрезке [a; b] функция y = f(x) интегрируема, а y = g(x) монотонна, то существует такое число , что справедливо равенство .