Интегрируемость непрерывных и монотонных функций.

Теорема 4. Функция, непрерывная на отрезке, интегрируема на нем. 
    Если функция f непрерывна на отрезке [a,b], то она, во-первых, ограничена на нем, а во-вторых, равномерно непрерывна. Последнее означает, что для любого  > 0 существует такое  > 0 , что для всех точек x  [a,b] и x'  [a,b] таких, что |x - x'| < , выполняется неравенство | f(x') - f(x)| < . 
    Возьмем для отрезка [a,b] какое-либо разбиение  мелкости || < . Тогда для любых двух точек x и x', принадлежащих одному и тому же отрезку разбиения , x  [xk-1,xk], x'  [xk-1,xk], имеет место неравенство|x - x'| < xk-1 - xk = xk < || < , а поэтому и неравенство | f(x') - f(x)| < . Отсюда следует, что колебание k(f) функции f на отрезке [xk-1,xk] удовлетворяет неравенству

Следовательно,

Поскольку  было произвольным положительным числом, то неравенство (23.28) означает, что 
= 0 . Поэтому в силу следствия 1 теоремы 2 функция f интегрируема на отрезке [a,b]. 
    Теорема 5. Функция, монотонная на отрезке, интегрируема на нем. 
    Пусть для определенности функция f возрастает на отрезке [a,b]. Тогда, в частности, для любого x  [a,b] выполняется неравенство

f(a) < f(x) < f(b),

и, следовательно, функция f ограничена на отрезке [a,b]. Очевидно также, что в силу возрастания функции f для любого разбиения отрезка [a,b] имеют место равенства

Поэтому, заметив, что xk-1 - xk

и что x0 = a, = b получим

Отсюда следует, что ( - ) = 0 , и потому, согласно теореме 2, функция f интегрируема на отрезке [a,b]. 
    Замечание. Отметим, что монотонные на отрезке функции могут быть и разрывными. Так, например, функция f(x) = sign x монотонна и разрывна на любом отрезке, содержащем точку x = 0. Поскольку же всякая монотонная функция, в частности, f(x) = sign x, согласно теореме 4, интегрируема, то отсюда следует, что существуют разрывные интегрируемые функции.