Первообразная функция и неопределенный интеграл. Сойства неопределенного интеграла.

Определение неопределенного интеграла.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .

Выражение  называют подынтегральным выражением, а f(x) –подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразныхF(x)+C.

На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

1. 
   Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.
2. 
   Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.
3. , где k – произвольная константа.
   Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.
4. 
   Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения.

Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:

Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.