Формула Тейлора, с остаточным членом в форме Коши

Теорема 2. Остаточный член

разложения функции по формуле Тейлора является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с

при

Иначе говоря,

Доказательство. Выражение под знаком предела в последнем уравнении представляет собой неопределенность вида

для раскрытия которой можно использовать правило Лопиталя:

Повторно применяя правило Лопиталя, получаем цепочку равенств, приводящих к доказываемому утверждению: