Теоремы Лагранжа и Коши

Теорема 2. (Теорема Лагранжа) Пусть функция f(x)

1. непрерывна на отрезке [a, b];
2. дифференцируема в интервале (a, b).

Тогда существует точка с О (a, b) такая, что

Формула (1) называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

Эта функция непрерывна и дифференцируема в промежутке  , а на его концах принимает одинаковые значения:

Тогда    удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, следовательно, существует точка  , в которой производная функции    равна нулю:

      Следствие 1. В частном случае, когда  , из теоремы Лагранжа вытекает, что существует точка  , в которой производная функции   равна нулю:  . Это означает, что теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля. 

      Следствие 2. Если    во всех точках некоторого промежутка  , то   в этом промежутке. 
      Действительно, пусть    и    – произвольные точки промежутка    и  . Применяя теорему Лагранжа к промежутку  , получим

Однако    во всех точках промежутка  . Тогда

Учитывая произвольность точек    и  , получаем требуемое утверждение. 

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа

Представим формулу (1) в виде

Число  

   есть угловой коэффициент прямой, проходящей через концы графика функции y = f(x) — точки (a, f(a) ) и (b, f(b) ), а f '(c) — угловой коэффициент касательной к этому графику в точке
(c, f(c) ). Из формулы (2) следует, что существует точка с О (a, b), в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой, проходящей через концы графика (или совпадает с ней) (рис. 2).

Теорема 3. (Теорема Коши) Пусть функции f(x) и g(x)

1. непрерывны на отрезке [a, b];
2. дифференцируемы в интервале (a, b);
3. "x О (a, b) g'(x) ≠ 0 .

Тогда существует точка c О (a, b) такая, что

Формула (3) называется формулой Коши.

Доказательство. Заметим, что  . В противном случае – согласно теореме Ролля – производная    обратилась бы в нуль в некоторой точке  . 
      Рассмотрим вспомогательную функцию

которая удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, в частности, принимает одинаковые значения на концах промежутка  :

Тогда существует точка  , в которой

что и требовалось доказать. 

      Следствие. Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши при  . В свою очередь теорема Ролля представляет собой частный случай теоремы Лагранжа. Таким образом, теорема Коши включает в себя в качестве частных случаев теорему Ролля и теорему Лагранжа.