определено в соответствующей проколотой окрестности точки t0. Определение 3. Предел
(если он, конечно, существует) называется производной векторной функции r(t) в точке t0 и обозначается r'(t0) или 
(t0)Если положить
t = t - t0, r = r(t) - r(t0) = r(t0 + t) - r(t0), то
|
|
(16.17) |
Пусть r(t) = (x(t), y(t), z(t)). Так как
то в силу (16.9), (16.10) для того, чтобы векторная функция r(t) = (x(t), y(t), z(t)) имела производную в точке t0, необходимо и достаточно, чтобы ее координаты x(t), y(t), z(t) имели производные в точке t0, причем в этом случае
|
r'(t) = (x'(t0), y'(t0), z'(t0)). |
(16.18) |
Производную r'(t) вектор-функции r(t) называют также скоростью изменения вектора r(t) относительно параметра t. В случае когда длина вектора r(t) не меняется, производная r'(t) называется также и скоростью вращения вектора r(t), а ее абсолютная величина - численным значением скорости его вращения.
Замечание 1. По аналогии со случаем скалярных функций векторную функцию 
(t), t 
X, называют бесконечно малой по сравнению со скалярной функцией 
(t), t X, при t
t0 и пишут (t) = o((t)), tt0, если существует векторная функция 
(t), определенная на том же множестве X, что и функции (t), (t), такая, что в некоторой окрестности точки t = t0 имеет место равенство (t) = (t)(t), t X, и
(t) = 0.
Как и для скалярных функций, если t0 X, то функция (t) непрерывна в точке t0, и потому (t0) = 0.
Замечание 2. Вектор-функция аргумента t называется линейной, если она имеет вид at + b, где a и b - какие-либо два фиксированных вектора.
После этих вводных замечаний можно определить понятие дифференцируемости и дифференциала вектор-функции
