Разберём задачу на определение скорости движения точки. Пусть материальная точка движется неравномерно и прямолинейно согласно закону 
, где
— время,
— путь. Средняя скорость движения за время 
будет равна
.
Чем меньше , тем точнее
будет описывать скорость в момент времени 
, в связи с чем скоростью в момент времени называют
.
Теперь разберём основное понятие высшей математики — понятие производной.
О: Пусть 
определена в окрестности т. 
. Тогда, если
то он именуется производной функции 
и обозначается как 
. Действие по нахождению производной функции называется дифференцированием.
Прочие обозначения производной:
О: Функцию, которая имеет производную в каждой точке интервала 
, именуют дифференцируемой на интервале .
Соотнося формулу скорости движения точки и определение производной, имеем физический смысл производной:
,
то есть скорость прямолинейного неравномерного движения соответствует производной от пути по времени.
Геометрический смысл производной
Пусть на графике непрерывной функции 
имеется касательная в т. 
, которая образует угол
с осью
(рис 9.1). Построим секущую
, где приближается к касательной и
.
Получаем формулу
Следовательно, производная функции в т. 
равняется угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке с абсциссой 
. Запишем уравнение касательной и уравнение нормали (прямой, перпендикулярной к касательной) в т. 
. Поскольку уравнение пучка прямых, которые проходят через т.
, имеет вид 
, то уравнение касательной будет иметь вид 
, а уравнение нормали вследствие условия перпендикулярности:
.
