Определение производной функции в точке. Производная и непрерывность.

Пусть функция f(x) определена на промежутке (a; b), формула и - точки этого промежутка. Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при . Обозначается формула .

Когда последний предел принимает конкретное конечное значение, то говорят о существовании конечной производной в точке. Если предел бесконечен, то говорят, что производная бесконечна в данной точке. Если же предел не существует, то ипроизводная функции в этой точке не существует.

Функцию f(x) называют дифференцируемой в точке формула , когда она имеет в ней конечную производную.

Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка (a; b), то функцию называют дифференцируемой на этом промежутке. Таким образом, любой точке x из промежутка (a; b) можно поставить в соответствие значение производной функции в этой точке формула , то есть, мы имеем возможность определить новую функцию , которую называют производной функции f(x) на интервале (a; b).

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Проведем разграничения в природе понятий производной функции в точке и на промежутке: производная функции в точке – это есть число, а производная функции на промежутке – это есть функция.

Функция y=f(x) называется непрерывной при x=x0, если она определена в некоторой окрестности x0 и если limDx® 0Dy=0.

Теорема 1. Сумма функций непрерывных в точке x0 есть также непрерывная функция.

Теорема 2. Произведение функций непрерывных в точке x0 есть также непрерывная функция.

Теорема 3. Частное двух функций непрерывных в точке x0 есть также непрерывная функция, если знаменатель не обращается в 0.

Теорема 4. Если u=g(x) непрерывная функция в точке x0 и f(u) непрерывная функция в точке u0=g(x0), то f ( g(x)) есть также непрерывная функция.

Теорема 5. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Непрерывность на интервале. Непрерывность слева и справа. Непрерывность на замкнутом отрезке. Разрывы 1-го рода.
Свойства непрерывных функций.

Теорема 6. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке a Ј x Ј b, то на этом отрезке найдется точка x1, такая, что f(x1) і f(x) для любого x из этого отрезка, и найдется точка x2, такая, что f(x2)Ј f(x) для любого x из этого отрезка.

Наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке.

Теорема 7. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах отрезка принимает значения разного знака, то на этом отрезке найдется точка c, такая, что f(c)=0.

Теорема 8. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах отрезка принимает значения A и B, то на этом отрезке найдется точка c, такая, что f(c)=C, если C заключено междуA и B.
Производная.
Если существует предел

lim
Dx® 0 Dy

Dx ,

то он называется производной функции y=f(x) по аргументу x.

Операция дифференцирования.

Геометрическое значение производной.

Теорема 10. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.
Т: Если функция подлежит дифференцированию в т. x, то в этой точке она непрерывна ■

□ Докажем выполнение условия 2) исходя из О.1

Следствие. Функция не может иметь производной в точке разрыва. Обратное утверждение неверно, то есть из непрерывности функции не вытекает существование производной в т. x. Например, непрерывна в т. , график функции не имеет касательной в точке с абсциссой и функция не подлежит дифференцированию в т. (рис.)

Определение производной функции в точке. Производная и непрерывность.

Свойства непрерывных функций.

Производная.