ассмотрим фигуру как множество точек 
плоскости преобразованием фигуры будем называть всякое отображение этого множества на себя 
, при котором выполняется условие биекции.
Свойства:
1) среди преобразований фигуры есть тождественное преобразование 
2) Любое преобразование фигуры обратимо 
.
3) Рассмотрим композицию двух преобразований фигуры 
4) Композиция преобразований фигуры ассоциативна.
Прежде чем, доказать теорему о группе преобразований фигуры, покажем, что множество таких преобразований содержат элементы от тождественного преобразования. Сразу оговоримся, что группа преобразований может быть определена не для всякой фигуры.
Определение: Фигуру будем называть ограниченной, если существует такое число 
, что расстояние между двумя точками фигуры всегда меньше 
, направленную, ограниченную фигуру всегда можно поместить в круг диаметром .
Свойства ограниченной фигуры:
1. Группа движений 
ограниченной фигуры не содержит параллельных переносов на ненулевой вектор.
Доказательство: (Методом от противного)
Пусть 
— параллельный перенос на 
, если 
, то 
, где 
, аналогично точки 
, где 
, таким образом любое 
точки 
и 
, но 
, то это невозможно, т.к. 
— ограниченная фигура.
2. Ограниченная фигура имеет не более одного центра симметрии, т.е. либо не имеет их, а если имеет, то только один.
Доказательство:
Предположим обратное: допустим, что ограниченная фигура имеет два центра симметрии. Рассмотрим композицию двух центральных
симметрий фигуры 
. Композиции двух центральных симметрий это параллельный
фигуры нет такого движения (свойство 1). Следовательно ограниченная фигура не может быть двух центров симметрии.
3. Если ограниченная фигура имеет центр симметрии, то через него проходит все оси симметрии фигуры.
Доказательство: (Методом от противного)
Предположим, что ось в симметрии не проходит через центр симметрии 0. Рассмотрим отражение от центральной точки 0 и отражение 
от прямой 
т.к. 
и 
, то 
, но это невозможно, т.к. 
— скользящая симметрия.
4. Если фигура отображается на себя хотя бы одним преобразованием, отличным от тождественного , то говорят, что фигуре
соответствует группа ее симметрии, при этом симметричные фигуры называют любое такое преобразование.
Приведем примеры групп симметрии фигуры:
Теорема: Правильный 
- угольник имеет группу симметрии порядка 
. Порядок группы количеством ее элементов 
все другие преобразования можно выразить через эти.
Заметим, что в случае - угольника 
, тогда композицией двух элементов с множества является 
, значит, операция на множестве замкнута, коммутативна, ассоциативна, существует нейтральный элемент 
и существует симметричный элемент.
Примечание: в математике показано, что вообще всю геометрию плоскости можно построить, используя только понятия симметрии.
5. Любое движение плоскости можно выразить через преобразование симметрии.
Теорема: Любой перенос плоскости есть композиция двух центральных симметрий.
Доказательство:
Параллельный перенос 
: 
.
получаем множество ? с общей средней линией во всех случаях 
.
Теорема: Любой параллельный перенос можно представить как композицию двух осевых симметрий с параллельными осями, причем направление осей перпендикулярно переносу, а расстояние между ними равно половине его длины.
;
.
Теорема: Любой поворот можно задать композицией двух осевых симметрий, причем оси пересекаются в центре поворота, а угол между ними равен половине угла поворота.
Все свойства фигур плоскости можно рассматривать на основании преобразований плоскости, причем те свойства фигур, которые сохраняются, относительно каких-то преобразований, называемых инвариантными соответствующей группы преобразований, направленными инвариантами группы движений плоскости является расстояние между точками фигуры (метрика), причем это измерение должно быть сделано в одном репере
