Векторным произведением вектора ā на вектор называется такой третий вектор ||, длинна и направление которого определяются условиями:
- , где - угол между ā и ;
- перпендикулярен каждому из векторов ā и ;
- направлен так, что кратчайший поворот от ā к виден с его конца совершающимся против часовой стрелки:
рис.1.
Векторное произведение обладает следующими свойствами:
- Векторное произведение равно нулю (нуль-вектору) тогда и только тогда, когда ā и коллинеарны. В частности, для любого вектора ā.
- Если ā и неколлинеарны, то модуль векторного произведения равен площади S построенного на них параллелограмма (рис.1).
Из первых трех свойств следует, что векторное умножение суммы векторов на сумму векторов подчиняется обычным правилам перемножения многочленов. Надо только следить за тем, чтобы порядок следования множителей не менялся.
Механический смысл векторного произведения: если - сила, приложенная к точке М, то момент этой силы относительно точки А равен векторному произведению векторов и , т. е. .
В частности, момент относительно начала координат , где r – радиус-вектор точки приложения силы.
Основные орты перемножаются следующим образом: , .
Если: , то
Смешанное произведение трех векторов
Смешанным произведением трех векторов называется их векторно-скалярное произведение .
Тройка некомпланарных векторов , и называется правой, если кратчайшее вращение от к видно с конца вектора совершающимся против часовой стрелки, и левой – если по часовой стрелке (рис.1):
рис.1.
Геометрический смысл смешанного произведения:
- Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов , и является равенство .
- Если некомпланарные векторы , и приведены к общему началу, то модуль смешанного произведения равен обьему параллелепипеда, построенного на , и . Если >0, то тройка векторов , и правая, если <0, то левая. Если векторы , и заданы своими координатами , то
Т.е. смешанное произведение равно определителю из координат сомножителей.
