1. Визначники 2-го та 3-го порядків визначаються наступним чином:
Числа аj, bj, cj называются элементами определителя. Диагональ определителя, на которой расположены числа a1, b2 в случае (1) и a1, b2, c3 – в случае (2), называется главной. Элементы b1, a2 - в (1) и c1, b2, a3 – во (2) составляют побочную диагональ.
Для вычисления определителя второго порядка надо из произведения чисел, стоящих на его главной диагонали, вычесть произведение чисел, расположенных на побочной диагонали.
При вычислении определителей третьего порядка обычно пользуются правилом треугольников: первые три слагаемых с правой части равенства (2) вычисляются по схеме правилом треугольников: первые три слагаемых с правой части равенства (2) вычисляются по схеме І, они представляют собой произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугонильков, у которых одна из сторон параллельна главной диагонали. Остальные три слагаемые правой части (2) вычисляются по аналогичной схеме ІІ, где за основу взята побочная диагональ. При этом произведения, вычисленные по второй схеме ставятся в формулу (2) с обратным знаком.
2. Свойства определителей.
І. При замене всех строк определителя на столбцы с теми же номерами величина его не изменяется (равноправность строк столбцов), т.е.
ІІ. При перестановке двух столбцов (или строк) определитель меняет свой знак
III. Умножение всех элементов какого-либо столбца (или строки) определяется на одно и то же число λ равносильно умножению на λ определителя. Иными словами, общий множитель всех элементов данного столбца (или строки) можно вынести за знак определителя
ІV. Если некоторый столбец (или строка) определителя целиком состоит из нулей, то определитель равен нулю.
V. если элементы какого-либо столбца определителя пропорциональны (в частности, равны) соответствующим элементам другого столбца, то определитель равен нулю. Аналогичное свойство верно и для строк. Так, определитель
так как элементы первых двух строк пропорциональны.
VІ. Если каждый элемент ƙ-го столбца (ƙ=1, 2 или 3) определителя представляет сумму двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в одном из которых в том же столбце стоят первые слагаемые, а в другом – вторые. Остальные столбцы у обоих определителей одинаковые. Аналогичное свойство верно и для строк.
VІІ. Определитель не изменяется, если к элементам какого-либо столбца (или строки) прибавить соответственные элементы другого столбца (или строки), умноженные на любой общий множитель
VIII. Определитель равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.
IХ. Сумма произведений элементов какого-либо столбца (строки) определителя на алгебраические дополнения соответственных элементов другого столбца (строки) равна нулю.
