Теорема 1.11 (Свойство непрерывности меры Лебега).
1) Пусть {Ek}∞ k=1 – невозрастающая последовательность из- меримых множеств, т. е. последовательность множеств со свой- ством Ek+1 ⊂ Ek, k > 1. Пусть при этом |E1| < ∞. Тогда lim k→∞ |Ek| = ∩∞ k=1 Ek .
2) Пусть {Ek}∞ k=1 – неубывающая последовательность измери- мых множеств, т. е. последовательность множеств со свойством Ek ⊂ Ek+1, k > 1. Тогда lim k→∞ |Ek| = ∪∞ k=1 Ek .
Доказательство.
1. Проверим первое утверждение теоремы. Поло- жим E∞ = ∩∞ k=1 Ek. Множество E1 можно представить в виде E1 = ( ∪∞ k=1 (Ek \ Ek+1) ) ∪ E∞. Множества E∞, Ek \ Ek+1, k > 1, попарно не пересекаются; в силу свойства счетной аддитивности меры Лебега справедливо равенство |E1| = ∑∞ k=1 |Ek \ Ek+1| + |E∞|. По условию теоремы |E1| < ∞, значит, ряд справа сходится. Такие рассуждения можно провести при любом n > 1 и потому En = ( ∪∞ k=n (Ek \ Ek+1) ) ∪ E∞, |En| = ∑∞ k=n |Ek \ Ek+1| + |E∞|. При n → ∞ остаток сходящегося ряда ∑∞ k=n |Ek \ Ek+1| стремится к нулю, а, следовательно, |En| → |E∞| = ∩∞ k=1 Ek , n → ∞.
2. Докажем второе утверждение. Введем обозначение E = ∪∞ k=1 Ek. Поскольку Ek ⊂ E, то утверждение теоремы триви- ально, если хотя бы одно из множеств Ek имеет бесконечную меру. 18 Допустим, что |Ek| < ∞ при любом k > 1. Справедливы представ- ления E = ∪∞ k=1 Ek = E1 ∪ ( ∪∞ k=1 ( Ek+1 \ Ek ) ) , En = ∪n k=1 Ek = E1 ∪ (n∪−1 k=1 ( Ek+1 \ Ek ) ) , n > 2. (1.20) Множества, стоящие в (1.20) справа, не пересекаются, поэтому в силу свойства счетной аддитивности меры Лебега |E| = |E1|+ ∑∞ k=1 |Ek+1\Ek| = limn→∞ ( |E1| + n∑−1 k=1 |Ek+1 \ Ek| ) = limn→∞ |En|. Теорема доказана.
