Теорема 1.10 (Счетная аддитивность меры Лебега).
Объединение ⊔ k>1 Ek конечного или счетного семейства {Ek}k>1 попарно непе- ресекающихся измеримых множеств измеримо и для меры объеди- нения имеет место равенство ⊔ k>1 Ek = ∑ k>1 |Ek|. (1.15)
Доказательство. По свойству 1.4◦ множество E = ⊔ k>1 Ek изме- римо и справедливо неравенство |E| 6 ∑ k>1 |Ek|.
(1.16) Нам предстоит доказать, что (в условиях теоремы) имеет место об- ратное неравенство |E| > ∑ k>1 |Ek|. (1.17) В силу (1.16) неравенство (1.17) достаточно обосновать в пред- положении, что |E| < ∞.
В силу вложения Ek ⊂ E мера каждого из множеств Ek также будет конечна.
1. Рассмотрим сначала случай, когда Ek замкнуты, ограниче- ны (и между собой не пересекаются). Тогда при любом допустимом натуральном N имеем ⊔N k=1 Ek 6 |E|. К тому же по следствию свойства аддитивности верхней меры для множеств с положитель- ным расстоянием ⊔ N k=1 Ek = ⊔ N k=1 Ek ∗ = ∑ N k=1 |Ek| ∗ = ∑ N k=1 |Ek|.
Значит, ∑ N k=1 |Ek| 6 |E|. Если семейство {Ek} счетно, то перейдем к пределу при N → ∞. В данном случае неравенство (1.17) проверено.
2. Пусть теперь множества семейства {Ek} ограничены, но необязательно замкнуты. Возьмем ε > 0. Для каждого множества Ek по теореме 1.9 найдется замкнутое множество Fk со свойствами Fk ⊂ Ek и |Ek \ Fk| ∗ = |Ek \ Fk| < ε 2 k . Положим H = ⊔ k>1 Fk; это есть конечное или счетное объединение попарно непересекающихся замкнутых ограниченных множеств. На основании уже доказанного |H| = ⊔ k>1 Fk = ∑ k>1 |Fk| 6 |E|. (1.18) Помимо того, Ek = Fk ∪ (Ek \ Fk), |Ek| 6 |Fk| + |Ek \ Fk| < |Fk| + ε 2 k . И, следовательно, |Fk| > |Ek| − ε 2 k . Подставляя эту оценку в (1.18), получаем |E| > ∑ k>1 |Fk| > ∑ k>1 |Ek| −∑ k>1 ε 2 k > ∑ k>1 |Ek| − ε. 17 Итак, для любого ε > 0 |E| > ∑ k>1 |Ek| − ε. Устремляя ε → +0, получаем нужное неравенство (1.17).
3. Рассмотрим, наконец, последний случай, когда хотя бы од- но из множеств Ek неограниченно. Вещественную прямую R можно представить как счетное объединение измеримых ограниченных по- прано непересекающихся множеств, к примеру, R = ⊔∞ n=0 Hn, где H0 = (−1, 1); Hn = (−n − 1, −n] ∪ [n, n + 1), n > 1.
Теперь запишем E = ⊔ k>1 Ek = ⊔ k>1 ( Ek ∩ R ) = ⊔ k>1 ( Ek ∩ ⊔∞ n=0 Hn ) = = ⊔ k>1 ⊔∞ n=0 (Ek ∩ Hn). Множества Ek ∩ Hn измеримы, ограничены и попарно не пересека- ются, поэтому в силу предыдущего этапа доказательства |E| = ∑ k>1,n>0 |Ek ∩ Hn|. (1.19) Поскольку Ek = ⊔∞ n=0(Ek ∩ Hn), то вновь в силу предыдущего этапа |Ek| = ∑∞ n=0 |Ek ∩ Hn|. Применяя теперь в (1.19) теорему ?? о группировке членов абсолют- но сходящегося ряда, получаем |E| = ∑ k>1,n>0 |Ek ∩ Hn| = ∑ k>1 ∑ n>0 |Ek ∩ Hn| = ∑ k>1 |Ek|.
