Окрестность точки. 1. На числовой оси окрестность точки – любой интервал (открытый промежуток), содержащий данную точку. В частности открытый (не содержащий границ) промежуток (а – δ; а + δ) с центром в точке а называется δ-окрестностью точки а (положительное число δ – радиус δ-окрестности).
Число А называется пределом функции у=ƒ(х) или при х® хо, если для любой последовательности допустимых значений аргумента xn, n є N (xn¹x0), сходящейся к хо последовательность соответствующих значений функции ƒ(хn), n є N, сходится (стремится) к числу А
В этом случае пишут или ƒ(х)—>А при х→хо. Геометрический смысл предела функции:
означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке хо, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.
3) Будем говорить, что переменная x стремится к бесконечности, если для каждого заранее заданного положительного числа M (оно может быть сколь угодно большим) можно указать такое значение х=х0, начиная с которого, все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству |x|>M.
Например, пусть переменная х принимает значения x1= –1, x2=2, x3= –3, …,
xn=(–1)nn, … Ясно, что это бесконечно большая переменная величина, так как при всех M > 0 все значения переменной, начиная с некоторого, по абсолютной величине будут больше M.
Переменная величина x → +∞, если при произвольном M > 0 все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству x > M.
Выясним, в чём заключается геометрический смысл предела функции в точке. Построим график функции и отметим на нём точки
и
.
Предел функции в точке
существует и равен
, если для любой
-окрестности точки
можно указать такую
-окрестность точки
, что для любого
из этой
-окрестности значение
будет находится в
-окрестности точки
.
Отметим, что по определению предела функции в точке для существования предела при не важно, какое значение принимает функция в самой точке
. Можно привести примеры, когда функция не определена при
или принимает значение, отличное от
. Тем не менее, предел может быть равен
.