1.Окрестность точки на числовой прямой. Предел функции в точке. Предел вбесконечно удаленной точке. Геометрическая интерпретация предела.

Окрестность точки. 1. На числовой оси окрестность точки – любой интервал (открытый промежуток), содержащий данную точку. В частности открытый (не содержащий границ) промежуток (а – δ; а + δ) с центром в точке а называется δ-окрестностью точки а (положительное число δ – радиус δ-окрестности).

Число А называется пределом функции у=ƒ(х) или при х® х_о, если для любой последовательности допустимых значений аргумента x_n, n є N (x_n¹x₀), сходящейся к х_о последовательность соответствующих значений функции ƒ(х_n), n є N, сходится (стремится) к числу А

$lect1471.jpg$

В этом случае пишут $lect1472.jpg$ или ƒ(х)—>А при х→х_о. Геометрический смысл предела функции: $lect1473.jpg$ означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке х_о, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.

3) Будем говорить, что переменная x стремится к бесконечности, если для каждого заранее заданного положительного числа M (оно может быть сколь угодно большим) можно указать такое значение х=х₀, начиная с которого, все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству |x|>M.

Например, пусть переменная х принимает значения x₁= –1, x₂=2, x₃= –3, …,

x_n=(–1)ⁿn, … Ясно, что это бесконечно большая переменная величина, так как при всех M > 0 все значения переменной, начиная с некоторого, по абсолютной величине будут больше M.

Переменная величина x → +∞, если при произвольном M > 0 все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству x > M.

Выясним, в чём заключается геометрический смысл предела функции в точке. Построим график функции $y=f(x)$ и отметим на нём точки $x=a$ и $y=A$ .

Предел функции $y=f(x)$ в точке $x\rightarrow a$ существует и равен $A$ , если для любой $\varepsilon$ -окрестности точки $A$ можно указать такую $\delta$ -окрестность точки $a$ , что для любого $x$ из этой $\delta$ -окрестности значение $y=f(x)$ будет находится в $\varepsilon$ -окрестности точки $A$ .

Отметим, что по определению предела функции в точке для существования предела при $x\rightarrow a$ не важно, какое значение принимает функция в самой точке $a$ . Можно привести примеры, когда функция не определена при $x=a$ или принимает значение, отличное от $A$ . Тем не менее, предел может быть равен $A$ .

1.Окрестность точки на числовой прямой. Предел функции в точке. Предел в бесконечно удаленной точке. Геометрическая интерпретация предела.