Односторонние пределы монотонной ф-ции на концах (a; b). Пусть f ↑ на (a; b), где Тогда:
1) если f(x) на (a; b) ограничена сверху числом М, то в точке В существует конечный предел слева этой ф-ции, при этом он является точной верхней гранью f(x) на (a; b) и не превосходит М:
2) если f не ограничена на (a; b), то предел в точке слева есть +∞ (f(b-0)=+∞); (ф-ция не ограничена сверху);
3) если f(x) ограничена на (a; b) снизу числом m, то в точке а существует конечный предел этой ф-ции справа, при чем этот предел есть точная нижняя грань ф-ции на (a; b) и его значение не меньше m:
4) f – не ограничена на (a; b) снизу => f(a+0)=-∞
Δ 1) Пусть f ↑ на (a; b) и ограничена сверху: Обозначим Y:=f((a; b)) при отображении f: (a; b)→f((a; b). Y ограничена сверху (числом М) =>
конечно,
2) Пусть f ↑ на (a; b) и не ограничена сверху=>
3) и 4) – аналогично Δ
Односторонние пределы на [a; b]. Пусть f- монотонна на [a; b](f ↑). Тогда:
1)
2)
3)
Δf ↑ на [a; b]=> Тогда:
1)
f(a)≤f(a+0)
2)
f(b-0)≤f(b)
3)Пусть
Δ
Теорема. Монотонная ф-ция может иметь разрывы только 1-го рода.
ΔПусть Если
-точка разрыва 1-го рода.Δ
25.
