Теорема о покрытии отрезка интервалами (лемма Гейне-Бореля). Из произвольного покрытия отрезка [a; b] системой интервалов
|
a |
|
α |
|
C |
|
β |
|
b |
|
Sk |
Δ (от противного) Пусть для отрезка [a; b] из системы интервалов I нельзя выбрать конечное подпокрытие. Построим систему вложенных отрезков следующим образом: S1=[a1; b1]=[a; b]. Поделим отрезок S1пополам и выберем в качестве отрезка S2 ту его половину, для которой нельзя указать конечное подпокрытие. При этом |S1|=b-a; S2=[a2; b2]
Так как система интервалов I является покрытием для этого отрезка, то в ней найдется по крайней мере 1 интервал (α; β), содержащий точку С:
I – покрытие [a; b] =>
такой из них, длина которого будет меньше посчитаного
способу построения системы вложенных отрезков (каждый раз выбирался отрезок, для которого не существует конечного покрытия). Это противоречие и доказывает теорему.Δ
