1.   

Приближенный метод исследования устойчивости периодического движения.

Нет необходимости строить кривые Михайлова. Все исследование можно произвести аналитически. Для того, чтобы узнать,  примет ли кривая Михайлова при Δа>0 положение 1, достаточно определить, куда будет перемещаться с увеличением а та точка кривой Михайлова, которая при а=а_n находится в начале координат. Если она будет перемещаться по направлениям ОА₁, ОА_2, ОА₃, то периодический процесс с амплитудой а_n устойчив, если ОА₄, ОА₅ – неустойчив.

Это направление перемещения точки ω=ω_n из начала координат с увеличением а определяется следующими проекциями на координатные оси Х  и Y:    (1) где X  и Y обозначают вещественную и мнимую части аналитического выражения кривой Михайлова, а индекс «п» обозначает подстановку а=а_п и ω=ω_п.

Для устойчивости исследуемого периодического движения вектор, определенный проекциями (1), должен лежать с определенной стороны от касательной MN к кривой Михайлова, направление которой в свою очередь определяется проекциями   (2).

Другие виды кривых Михайлова.

Во всех случаях для устойчивости исследуемого периодического решения требуется, чтобы вектор с проекциями (1) лежал справа от касательной MN, если смотреть вдоль кривой Михайлова в сторону возрастания , причем направление касательной MN определяется вектором с проекциями (2).

Это геометрическое условие устойчивости периодического решения можно записать в следующем аналитическом виде: .

Последнее условие позволяет проверить устойчивость периодического решения без построения кривых. Этого достаточно для систем 3-го и 4-го порядков. Для систем более высокого порядка есть особенности.