Во многих задачах коэффициенты q и q’ сложно зависят от амплитуды а, а в ряде случаев и от частоты ω. В таких случаях удобнее линеаризовать характеристическое уравнение записывают в виде не подставляя зависимости q и q’ от a и ω. Тогда для определения периодических движений получаем 2 уравнения: Х(ω,q,q’)=0, Y(ω,q,q’)=0 (2)
Для общего случая задач, в которых каждый из коэффициентов q и q’ зависят от обеих известных a и ω, т.е.
q=q(a,ω), q’=q’(a,ω) (3), можно применить следующий прием решения.
Задаваясь различными значениями а и ω построим по формулам (2) две серии кривых: q(ω) и q’(ω) при различных а=const.
Затем из уравнения (1) выразим q=Z1(ω), q’=Z2(ω) и эти две кривые нанесем на тех же графиках. Теперь остается найти такие точки С и В, в которых кривые Z1 и Z2 пересекают линии с одинаковыми значениями а при одном и том же значении ω.
Полученные величины ап и ωп будет решением задачи, то есть амплитудой и частотой искомого периодического решения.
Во многих встречающихся на практике задачах вместо (3) будет q=q(a), q’=q’(a). Тогда кривые q и q’ для разных амплитуд будут иметь вид горизонтальных прямых линий.
В простейшем случае, когда в системе имеется однозначная нечетно-симметричная нелинейность F (х), для которой q = q (а) и q’ = 0, из уравнений (2) можно найти q(a)=Z(ω). Тогда, исключив q из уравнений (2), найдем частоту ω= ωп как функцию параметров системы. Затем, изобразив график зависимости q(а) проведем на нем горизонтальные линии q = Z(ω) для разных постоянных значений ω= ωп, т. е. для разных соотношений параметров системы. Точки пересечения этих прямых ω= ωп с кривой q(а) (например, на рис. точки aп1 и ап2) определяют в каждом случае амплитуды периодических решений. Если пересечений нет, то и периодических решений в системе не будет. В простейших случаях уравнение q(a)=Z(ω) решается аналитически.
