Пусть переходный процесс в некоторой системе описывается ДУ второго порядка (2), введем обозначение для скорости изменения отклонения управляемой величины (3). Исключив из уравнений (3) время t, разделив 2 из них на 1: (4) – ДУ фазовой траектории.
Решение уравнения (4) определяет собой некоторое семейство так называемых интегральных кривых на фазовой плоскости (х,у), каждая из которых соответствует одному определенному значению произвольной постоянной c.
Уравнению (2) соот-ют корни хар. уравнения:
причем возможны шесть случаев:
1) корни чисто мнимые при а1 = 0, а2 >0 (колебательная граница устойчивости линейной системы); Незатухающие колебания. ;
с постоянной амплитудой А и начальной фазой β, которые зависят от начальных условий.
Каждому начальному условию (x0;y0) соответствует свой эллипс. Начало координат, как траектория есть вырожденный эллипс (х=0,у=0). Это есть особая точка, определяющая положение равновесия системы. Особая точка в начале координат, окруженная множеством замкнутых циклов, определяемых н.у., называется особой точкой типа центр, эта точка устойчива по Ляпунову.
2) корни комплексные и имеют отрицательные вещественные части при a12 <4a2, а1 > 0, а2 > 0 (устойчивая линейная система);
Затухающие колебания. ; , где
а произвольные постоянные A и β определяются из н.у. х=х0, у=у0=
Особая точка (0;0) к которой сходятся все фазовые траектории при любых н.у. называется устойчивым фокусом или центром притяжения.
3) корни комплексные и имеют положительные вещественные части при a12 <4a2, а1<0, а2>0 (неустойчивая линейная система); Расходящиеся колебания.
Особая точка (0;0) неустойчивый фокус.
4) корни вещественные отрицательные при a12 <4a2, а1>0, а2>0 (устойчивая линейная система); апериодический процесс.
, где
Все фазовые траектории вливаются в начало координат фазовой плоскости (0;0). Однако, изображающая точка М не попадает в начало координат в конечное время. Приближается асимптотически. Особая точка (0;0) называется устойчивым узлом.
5) корни вещественные положительные при a12 <4a2, а1<0, а2>0 (неустойчивая линейная система);
О – особая точка (0;0) – неустойчивый узел.
6) корни вещественные и имеют разные знаки при а2<0 (неустойчивая линейная система); в частности, один из корней будет равен нулю при а2=0 (апериодическая граница устойчивости линейной системы).
Особая точка (0;0) – седло. Она соответствует положению равновесия.
