43. Поверхность второго порядка. Цилиндры и параболоиды

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид $\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2},$ где $ a$ и $ b$ -- положительные числа. Исследем форму эллиптического параболоида. Он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Найдем линию пересечения с плоскостью $ xOy$ . На этой плоскости $ {z=0}$ , поэтому $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0.$

Координаты только одной точки плоскости $ xOy$ могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью $ yOz$ . На этой плоскости $ {x=0}$ , поэтому

$\displaystyle z=\frac{y^2}{b^2}.$ Это уравнение параболы на плоскости $ yOz$

. Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью $ {z=h}$

. Уравнения этой линии x^2/a^2+y^2/B^2=h, h=z. Очевидно, что только одна точка (начало координат) удовлетворяет этим уравнениям, если $ {h=0}$

. Эта точка называется вершиной параболоида. Пусть $ h>0$

. Первое уравнение преобразуем к виду $\displaystyle \frac{x^2}{a^2h}+ \frac{y^2}{b^2h}=1,$ то есть к виду $\displaystyle \frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1,$

где $a_1=a\sqrt h$ , $b_1=b\sqrt h$ .Вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости $ xOz$ . Парабола должна двигаться так, чтобы ее плоскость была параллельна плоскости $ xOz$ , а вершина скользила по параболе в плоскости $ yOz$ .Если $ {a=b}$ , то сечения плоскостями, параллельными плоскости $ xOy$ , являются окружностями. В этом случае поверхность называется параболоидом вращения и может быть образована вращением параболы, лежащей в плоскости $ yOz$ , вокруг оси $ Oz$

Опр Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид $\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2},$ где $ a$ и $ b$ -- положительные числа.

Исследуем форму гиперболического параболоида. Найдем линию пересечения с плоскостью $ xOy$ . На этой плоскости $ {z=0}$ , поэтому $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0.$ Это уравнение определяет на плоскости $ xOy$ пару прямых ${y=\pm\frac bax}$ ,Найдем линию пересечения с плоскостью $ yOz$ . На этой плоскости $ {x=0}$ , поэтому $\displaystyle z=-\frac{y^2}{b^2}.$ Это уравнение на плоскости $ yOz$ задает параболу, ветви которой направлены вниз. Сечение плоскостью $ xOz$ также является параболой