41. Поверхность второго порядка. Эллипсоид

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,$ где a, b, c>0 — параметры эллипсоида. Это уравнение называется каноническим уравнением эллипсоида, а система координат, в которой эллипсоид описывается каноническим уравнением, называется канонической.

Из уравнения эллипсоида следует, что поверхность симметрична относительно координатных плоскостей, начало координат является центром эллипсоида. Исследуем форму эллипсоида с помощью метода сечений

Рассмотрим сечения эллипсоида плоскостями z = h , параллельными плоскости XOY : видно, что координаты точек поверхности ограничены: $\vert x\vert\leqslant a$ , $\vert y\vert\leqslant b$ , $\vert z\vert\leqslant c$ .

Эллипсоид обладает тремя плоскостями симметрии, тремя осями симметрии и центром симметрии. Ими служат соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.Для выяснения формы эллипсоида рассмотрим его сечения плоскостями. Найдем линию пересечения эллипсоида с плоскостью $ xOy$ . Так как любая точка плоскости $ xOy$ имеет нулевую третью координату, $ {z=0}$ , то координаты точек эллипсоида на плоскости $ xOy$ удовлетворяют уравнению $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$ Аналогично, сечение в плоскости $ yOz$ дает эллипс $\displaystyle \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ с полуосями $ b$ и $ c$ , а сечение плоскостью $ xOz$ -- эллипс $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ с полуосями $ a$ и $ c$ . Так же, как для эллипса, точки пересечения эллипсоида с координатными осями называются вершинами эллипсоида, центр симметрии -- центром эллипсоида. Числа $ a$ , $ b$ , $ c$ называются полуосями. Если полуоси попарно различны, то эллипсоид называется трехосным. Если две полуоси равны друг другу, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Эллипсоид вращения может быть получен вращением эллипса вокруг одной из осей. Например, если $ {a=b}$ , то все сечения эллипсоида плоскостями $ {z=h}$ , $\vert h\vert<c$ , будут окружностями. Сам эллипсоид может быть получен из эллипса $\displaystyle \frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,\quad (b=a),$ лежащего в плоскости $ yOz$ , при вращении его вокруг оси $ Oz$