1. Проерка полной системы вычетов по модулю м. Отыскиваем тот вычет кот удовлетворяет решению. 3х≡7(mod 11), (3,11)=1, 0,1,2,3..6..11, 3*6≡7(мод 11).
2. Искусственный. Заключается в замене коэффициентов а и b целыми числами альфа и бета, сравнимыми с а и b по мод и такими: альфа*х≡бета(мод м), имело 1 решение х≡бета\альфа(мод м). 3х≡7(11), 3х≡7+11(11), х≡6(11)
3. Метод, осн на т.Эйлера. ax≡b(mod m), (a,m)=1. Умножим это сравнение на вз.простое с модуелм a^фи(м)-1. Получим: a^фи(м) * х ≡ b * a^фи(м) -1 (mod m). Получим единств. решение: x≡b* a^фи(м) -1 (mod m)
4. Метод на осн. цепных дробей. m/a -цепная дробь. (a,m)=1. ax=b(mod m), m/a=Pn/Qn
По св-ву подх.дробей: Pn*Qn-1 - Pn-1*Qn=(-1)^n-1 получим: m*Qn-1- Pn-1*a=(-1)^n-1. Кмножим на (-1)^n-1*b.: (-1)^n-1*b*m*Qn-1+ (-1)^n*b *Pn-1*a=b. Перенесем то что с м. Видим что левая часть делится на м. => (-1)^n*b *Pn-1*a≡b(mod m) и х≡(-1)^n * Pn-*b(mod m)
