Опр. Целое число на целое число , b≠0, если существует такое целое число q, что справедливо равенство a=b·q. Обозн: b|a
Св-ва: 1. a|a(a≠0)-рефлексивность, 2. b|a и a|c => b|c –транзитивность
3. b|a, то ±b|±a 4. b|a и b|c, то b|a ±с 5. b|a и с≠0, то bc|ac
6. b|a и c-произв., то b|ac 7. b|a и a≠0, то |b|≤|a| 8. b|a и a|b, то a=±b
Теорема о делении с остатком: Для любых целых чисел a и b (b≠0) существует и единственная пара чисел q и r, которые называют частным и остатком от деления a на b таких, что a=bq+r; 0 ≤ r < |b|; Частный случай r=0=> b|a
Док-во сущ-ния: b>0...-2b,-b, 0, b, 2b. Найдется qb1; (q+1)b, такие, что qb≤a<(q+1)b
0 ≤ a-qb < qb; r=a-qb=>0≤r<b=|b| (b>0). Значит при b.0 такие числа q и r - сущ.
Единственность: Предположим, что есть еще одно представление числа а
a=bq1+r; 0≤r1<|b|; 0=b(q1-q)+(r1-r); b(q1-q)=(r-r1). Если q1≠q, то b| (r-r1)=> по св-ву 7.; значит |b| ≤ |r-r1|
Рассм: 0≤r<|b| и 0≤r1<|b|; -(|b|-1)≤r-r1≤|b|-1=> |r-r1|≤ |b|-1<|b|, но |b| ≤ |r-r1| =>q1=q и r1=r
