Плоские волны и фазовая скорость. Волновой пакет и групповая скорость.

Фазовая скорость

Основная формула, определяющая фазовую скорость (монохроматической) волны в одномерном пространстве или фазовую скорость вдоль волнового вектора для волны в пространстве большей размерности:

    υгр = ω/d

которая является прямым следствием того факта, что фаза плоской волны в однородной среде есть

    ф = ωt - kx    для одномерного случая

или  для размерности, большей единицы.

Конкретное соотношение между ω и k — так называемый закон дисперсии для каждого конкретного типа волн получают обычно из дифференциального уравнения, описывающего данный тип волн, подставляя в него монохроматическую (чаще всего плоскую) волну

В случае, когда фазовая скорость не зависит для данного типа волн от частоты или волнового числа (и направления волнового вектора), тогда и групповая скорость совпадает с нею.

Волновой пакет и групповая скорость

из билета №30

Монохроматическая волна  - это математическая идеализация. Таких волн в природе нет. Любая волна может представлена как суперпозиция  монохроматических волн с различными амплитудами и частотами ω в интервале Δω. Суперпозицию волн, отличающихся друг от друга по частотам (Δω << ω), называют волновым пакетом или группой волн. В пределах пакета монохроматические составляющие усиливают друг друга, вне пакета гасят друг друга.

В вакууме все монохроматические волны распространяются с одинаковой фазовой скоростью

    υ = ω/k

С такой же скоростью  распространяется в вакууме и сам волновой пакет, не изменяя своей формы.

В Диспергирующей среде волновой пакет расплывается, поскольку скорости его монохроматических составляющих отличаются друг от друга.

Пусть дисперсия достаточно мала, расплывание волнового пакета происходит не слишком быстро. Припишем волновому пакету скорость u, с которой перемещается «центр тяжести» пакета. Тогда u – будет групповой скоростью. Тогда

    u = dω/dk

На рисунке а) показано относительное расположение двух волн с одинаковой амплитудой и несколько отличным друг от друга частотами. На рис. б) результат суперпозиции.  Нас будет интересовать скорость, с которой перемещается место с

максимальной амплитудой это и будет скорость волнового пакета – групповая скорость.

Пусть уравнения этих монохроматических волн имеют вид:

Е1 = A cos(ωt - kx);

E2 = A cos [(ω + dω)t - (k + dk)x)]

В результате их наложения образуется суммарная волна:

    E = E1 + E2 = 2A cos((tdω - xdk)/2) cos(ωt - kx)

Это выражение можно рассматривать как уравнение моно­хроматической волны, амплитуда которой меняется по закону:

    A0 = |2A cos((tdω - xdk)/2)|

Отсюда следует, что точки, соответствующие, например, максимуму амплитуды, движутся по закону:

tdω – xdk = 0

Откуда x = (dω/dk)t. Величина в скобках и есть групповая ско­рость.

Выражение для групповой скорости можно представить в ином виде.

    u = d/dk (υk) = υ + kdυ/dk

Так как k = 2π/λ и dk = -(2π/λ2)dλ, то перепишем предыдущее выражение так:

    u = υ - λ(dυ/dλ)

Это и есть формула Релея.

В области нормальной дисперсии (dυ/dλ > 0) групповая скорость u оказывается меньше фазовой скорости υ. В отсутствие дисперсии dυ/dλ = 0 группо­вая скорость совпадает с фазовой.

Для волны де Бройля:

из билета №45

Найдем теперь групповую скорость υгр волны де Бройля. По определению

υгр = dω/dk

Преобразуя это выражение, получаем:

    υгр = d(ħω)/d(ħk) = dE/dp

Связь между E и p для частицы, согласно теории относительности, определяется соотношением:

E2 = p2c2 + m02c4

где m0 — масса покоя частицы.

Дифференцируя это выражение, находим:

    2EdE = 2pc2dp

или    dE/dp = pc2/E

Таким образом,

υгр = pc2/E = pc2/mc2 = p/m = υ

т.е. групповая скорость волны де Бройля υгр равна скорости движения частицы υ.