Дифференцирование сложных функций многих переменных

Рассмотрим для простоты функцию двух переменных.

Теорема. Пусть u = f (х, у) задана в области D и пусть х = х(t ) и у = у(t ) определены в области , причём, когда , то х и у принадлежат области D .Пусть функция u дифференцируема в точке M₀ (x₀, y₀, z₀), а функции х(t ) и у(t ) дифференцируемы в соответствующей точке t₀, то сложная функция u = f [x(t),y(t)]=F (t) дифференцируема в точке t₀ и имеет место равенство:

Доказательство. Так как u дифференцируема по условию в точке (x₀, y₀), то её полное приращение представляется в виде

Разделив это соотношение на , получим

Перейдём к пределу при и получим формулу

Замечание 1. Если u = u(x, y) и x = x, y = y(x), то полная производная функции u по переменной х

или .

Последнее равенство можно использовать для доказательства правила дифференцирования функции одной переменной, заданной неявно в виде F(x, y) = 0, где y = y(x)

Имеем: . Отсюда 1.gif (2417 bytes) .

Вернёмся к примеру 14 темы № 3:

;

Как видим, ответы совпали.

Замечание 2. Пусть u = f (х, у), где х = х(t , v), у = у(t , v). Тогда u есть в конечном счёте сложная функция двух переменных t и v . Если теперь функция u дифференцируема в точке M₀ (x₀, y₀), а функции х и у дифференцируемы в соответствующей точке (t₀, v₀), то можно говорить о частных производных по t и v от сложной функции в точке (t₀, v₀). Но если мы говорим о частной производной по t в указанной точке, то вторая переменная v считается постоянной и равной v₀. Следовательно, речь идёт о производной только от сложной функции по t и, следовательно, мы можем воспользоваться выведенной формулой. Таким образом, получим:

и .

Пример 13. Найти полную производную функции u = x^y, где x = sin t, y = cos t .

____________________________________________________________

Понятие сложной функции

Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой окрестности точки (x0, y0) . Пусть ее аргументы x и y в свою очередь являются функциями x = x(t) ,y = y(t) и определены в некоторой окрестности точки t0 , причем x(t0) = x0 , y(t0) = y0 .

Тогда в окрестности точки t0 определена сложная функция аргумента t

z = f(x(t), y(t)).

Аналогично определяется сложные функции любого числа переменных.

Например, если x и y — функции 2–х переменных: x = x(u,v) и y = y(u,v) , то функция z = f(x,y) является сложной функцией двух переменных u и v :

z = f(x(u,v), y(u,v)).

____________________________________________________

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных.

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, $f:U(x_0) to V(y_0),$ где $y_0 = f(x_0),$ и $g:V(y_0) to mathbb{R}$ Пусть также эти функции дифференцируемы: $fin mathcal{D}(x_0),; g in mathcal{D}(y_0).$ Тогда их композиция также дифференцируема: $h = g circ f in mathcal{D}(x_0),$ и её производная имеет вид:Одномерный случай

$h'(x_0) = g'bigl( f(x_0) bigr) cdot f'(x_0).$

Замечание

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции, где $x = x(t),$ принимает следующий вид:

$frac{dy}{dt} = frac{dy}{dx} cdot frac{dx}{dt}.$

Инвариантность формы первого дифференциала

Дифференциал функции $z = g(y)$ в точке $y_0$ имеет вид:

$dz = g'(y_0) , dy,$

где $dy$ — дифференциал тождественного отображения $y to y$ :

$dy(h) = h,quad h in mathbb{R}.$

Пусть теперь $y = f(x),; x in U(x_0),; fin mathcal{D}(x_0).$ Тогда $dy = f'(x_0), dx$ , и согласно цепному правилу:

$dz = g'bigl(f(x_0)bigr) cdot f'(x_0), dx = g'(y_0) , dy.$

Таким образом форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли независимая переменная функцией или нет.

Пример

Пусть $h(x) = (3x^2 - 5x)^7.$ Тогда функция $h$ может быть записана в виде композиции $h = g circ f,$ где

$f(x) = 3x^2-5x,; g(y) = y^7.$

Дифференцируя эти фунем

$h'(x) = 7(3x^2-5x)^6 cdot (6x-5).$

Многомерный случай

Пусть даны функции $f:U(x_0) subset mathbb{R}^m to V(y_0) subset mathbb{R}^n,$ где $y_0 = f(x_0),$ и $g:V(y_0) subset mathbb{R}^n to mathbb{R}^p.$ Пусть также эти функции дифференцируемы: $fin mathcal{D}(x_0)$ и $g in mathcal{D}(y_0).$ Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

$dh(x_0) = dg(y_0) circ df(x_0).$

В частности, матрица Якоби функции $h$ является произведением матриц Якоби функций $g$ и $f:$

$frac{partial(h_1,ldots, h_p)}{partial(x_1,ldots,x_m)} = frac{partial(h_1,ldots, h_p)}{partial(y_1,ldots,y_n)} cdot frac{partial(y_1,ldots, y_n)}{partial(x_1,ldots,x_m)}$

или

$J_{g circ f}(x_0) = J_g(y_0) cdot J_f(x_0).$

Следствия

Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:
$leftvertfrac{partial(h_1,ldots, h_p)}{partial(x_1,ldots,x_m)}rightvert = leftvertfrac{partial(h_1,ldots, h_p)}{partial(y_1,ldots,y_n)}rightvert cdot leftvertfrac{partial(y_1,ldots, y_n)}{partial(x_1,ldots,x_m)}rightvert.$
Для частных производных сложной функции справедливо
$frac{partial h(x_0)}{partial x_j} = sumlimits_{i=1}^n frac{partial g(y_0)}{partial y_i} frac{partial y_i}{partial x_j},quad j=1,ldots m.$

или в обозначениях Лейбница

$frac{partial z}{partial x_j} = sumlimits_{i=1}^n frac{partial z}{partial y_i} frac{partial y_i}{partial x_j},quad j=1,ldots,m.$
(Формула полной производной) Пусть $f(t,y_1,ldots,y_m):mathbb{R}^{m+1} to mathbb{R},$ где $y_j = y_j(t,x_1,ldots,x_n),; j=1,ldots m.$ Тогда
$frac{df}{dt} = frac{partial f}{partial t} + sumlimits_{i=1}^n frac{partial f}{partial y_i} frac{d y_i}{d t}.$

Инвариантность формы первого дифференциала

Пусть $z = g(y),quad yin V(y_0) subset mathbb{R}^n,$ и $g in mathcal{D}(y_0).$ Тогда дифференциал функции $g$ в точке $y_0$ имеет вид

$dz = J_{g}(y_0),dy,$

где $dy(h) = h,quad h in mathbb{R}^n$ — дифференциал тождественного отображения. Пусть теперь $y = f(x),; xin U(x_0)subset mathbb{R}^m,; fin mathcal{D}(x_0),$ и $y_0 = f(x_0).$ Тогда $dy = J_f(x_0), dx,$ и $z=g circ f(x),quad x in U(x_0).$ Согласно цепному правилу

$dz = J_{g circ f}(x_0), dx = J_g(y_0) J_f(x_0), dx = J_{g}(y_0), dy.$

Таким образом форма записи первого дифференциала не зависит от того, является ли аргумент независимой переменной или дифференцируемой функцией.

Примеры

Пусть $bigl(x(t),y(t)bigr) = ( cos t, sin t ),$ и $f(x,y) = x^2 - y^2.$ Тогда
$frac{df}{dt} = frac{partial f}{partial x} frac{partial x}{partial t} + frac{partial f}{partial y} frac{partial y}{partial t} = 2 cos t (-sin t) - 2 sin t cos t = -4 sin t cos t = -2 sin 2t.$
Пусть $f(x,y) = xy,$ и $x(u,v) = u^2 v,; y(u,v) = v^3.$ Тогда
$frac{partial f}{partial u} = frac{partial f}{partial x} frac{partial x}{partial u} + frac{partial f}{partial y} frac{partial y}{partial u} = v^3 cdot 2 uv + u^2 v cdot 0 = 2uv^4;$

$frac{partial f}{partial v} = frac{partial f}{partial x} frac{partial x}{partial v} + frac{partial f}{partial y} frac{partial y}{partial v} = v^3 u^2 + u^2 vcdot 3v^2 = 4 u^2 v^3.$

Дифференцирование сложной функции многих переменных.

Понятие сложной функции

Замечание

Инвариантность формы первого дифференциала

Пример

Многомерный случай

Следствия

Инвариантность формы первого дифференциала

Примеры