Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.

Пусть на гладкой дуге АВ задана непрерывная векторная функция 

 = (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))

и пусть М(x,y,z) - текущая точка дуги АВ, имеющая радиус – вектор 

Обозначим  - вектор, направленный по касательной к дуге АВ в точке M

Тогда величина

есть проекция вектора  на направление вектора 

Таким образом, можно показать, что между криволинейными интегралами первого и второго рода существует связь:

___________________________________________________________________ 

Для начала вспомним геометрический смысл производной

.

Это выражение - угловой коэффициент касательной к графику функции у = f(х) в точке М(х, у). Пусть дуга АВ линии L задана функцией у = f(х) и в точке М к ней проведены касательная МТ и секущая ММ₁ (см. рис. 13). Тогда

,

где ,

 - угол между касательной и осью ох.

Рис. 13

Запишем уравнение линии в параметрическом виде

Производная функции, заданной параметрически, вычисляется по формуле

и формально имеем

Покажем, что это действительно так.

Возьмём в качестве параметра дугу l так, что точкe M(x, y) соответствует дуга , а точке М₁ соответствует дуга , координаты точки М₁: .

Вектор  имеет длину 

Длина дуги  равна .

Рассмотрим предел отношения длины хорды ММ₁ к длине дуги, когда точка М₁ стремится к точке М:

Это значит, что мы имеем дело с эквивалентными бесконечно малыми, т.е. во всех рассуждениях можем длину дуги  заменить длиной хорды (или длиной вектора ). В результате получаем дифференциал дуги (по любому параметру)

Теперь можно записать связь между двумя типами криволинейных интегралов:

где L - дуга АВ и , где  - угол между касательной и осью оу. Тогда

.

Подчеркнём, что угол a связан с тем направлением касательной, которое отвечает выбранному направлению дуги АВ. Если изменить направление, криволинейный интеграл слева, а значит, и справа изменит знак на противоположный.

Для трёхмерного пространства запишем аналогичную формулу

где  - направляющие косинусы касательной в предположении, что её направление совпадает с направлением интегрирования.