Теорема: Для любого линейного преобразования φ из линейного пространства Vn сумма размерностей ядра и образа равна размерности n всего пространства
Док-во:
Положим dim V = n и зафиксируем произвольный базис f1,f2,...,fn пространства V.
Обозначим матрицу оператора A в этом базисе через A, а ее ранг — через r.
Пусть x ∈ V, а (t1,t2,...,tn) — координаты вектора x в базисе f1, f2, . . . , fn. Тогда
A(x) = A(t1f1 + t2f2 + ··· + tnfn) = t1A(f1) + t2A(f2) + ··· + tnA(fn).
Поскольку пространство Im A состоит из векторов вида A(x), мы получаем, что набор векторов A(f1),A(f2),...,A(fn) является системой образующих этого пространства.
Следовательно, размерность Im A равна размерности подпростанства, порожденного указанным набором векторов.
Учитывая, что столбцы матрицы A суть в точности столбцы координат векторов A(f1), A(f2), . . . , A(fn) в базисе f1, f2, . . . , fn, мы получаем, что размерность Im A равна рангу A по столбцам, т. е. dim Im A = r
Далее, пусть x ∈ V , а X — столбец координат вектора x в базисе f1,f2,...,fn.
Ясно, что x ∈ KerA тогда и только тогда, когда AX = O, где O — нулевой столбец.
Иными словами, пространство Ker A совпадает с пространством решений однородной системы линейных уравнений
AX = O.
Т.к. dimKerA=n−r то
Следовательно,
dim Im A + dim Ker A = r + (n − r ) = n.
