Пусть в линейном пространстве Vn задано линейное преобразование φ. Если L — любое линейное подпространство пространства Vn, то совокупность Lφ образов всех векторов из L при преобразовании φ также будет линейным подпространством.
В частности, линейным подпространством будет и совокупность Vnφ образов всех векторов линейного пространства. Она называется образом линейного преобразования. (Областью значений) Imφ
(Другое определение — мн-во всех векторов y таких что A(y)=x для некоторого x)
Найдем размерность образа.
Так как все матрицы, задающие преобразование φ в разных базисах, подобны между собой, то они имеют один и тот же ранг. Это число можно назвать рангом преобразования.
Размерность образа линейного преобразования будет равна рангу линейного преобразования.
Док-во:
Пусть φ задается в базисе e1,e2,…,en матрицей A.
Подпространство Vnφ выражается векторами e1φ,e2φ,…,enφ (1)
Базисом подпространства Vnφ будет служить любая максимальная линейно независимая подсистема системы (1).
Однако число линейно независимых векторов в (1) будет равно числу линейно независимых строк матрицы A, т.е. равно рангу этой матрицы. ▶
