Пусть в линейном пространстве дано линейное преобразование φ. Назовем произведением преобразования φ на число Х такое преобразование Хφ, что:
a(Хφ) = Х(aφ)
Образы векторов умножаются на число Х.
Преобразование Хφ является линейным: для любых векторов a и b и для любого числа α
(a+b)(Хφ) =
(αa)(Хφ) =
(a+b)(Хφ) = Х[(a+b)φ] = Х(aφ+bφ) = Х(aφ) + Х(bφ) = a(Хφ) + b(Хφ) — св. 1
(αa)(Хφ) = Х[(αa)φ] = Х[α(aφ)] = α[Х(aφ)] = α[a(Хφ)] — св. 2
Пусть матрица линейного преобразования φ: A=(αij). Тогда
ei(Хφ) = Х(eiφ) = Х∑(j=1..n)αijej = ∑(j=1..n)(Хαi)jej
Т.е.
e(Хφ) = (ХA)e
Матрица произведения линейного преобразования на число равна произведению матрицы преобразования на число.
Сопоставляя линейные преобразования с их матрицами получаем взаимно однозначное соответствие между всеми линейными преобразованиями и всеми квадратными матрицами порядка n. Операциям умножения матрицы на число и сложения матриц будет соответствовать аналогичные операции над линейными пространствами.
Пусть в линейном пространстве даны линейные преобразования φ и ψ. Назовем суммой этих преобразований такое преобразование φ+ψ, что:
a(φ+ψ) = aφ + aψ
Оно переводит любой вектор в сумму его образов при линейных преобразованиях φ и ψ.
Преобразование φ+ψ является линейным: для любых векторов a и b и для любого числа α
(a+b)(φ+ψ) = (a+b)φ + (a+b)ψ = aφ + bφ + aψ + bψ = a(φ+ψ) + b(φ+ψ) — св. 1
(αa)(φ+ψ) = (αa)φ + (αa)ψ = α(aφ) + α(aψ) = α(aφ+aψ) = α[a(φ+ψ)] — св. 2
Пусть матрицы линейных преобразований φ и ψ: A=(αij) и B=(βij). Тогда
ei(φ+ψ) = eiφ + eiψ = ∑(j=1..n)αijej + ∑(j=1..n)βijej = ∑(j=1..n)(αij + βij)ej
Т.е.
e(φ+ψ) = (A+B)e
Матрица суммы линейных преобразований равна сумме матриц линейных преобразований
