Сопоставляя линейные преобразования с их матрицами получаем взаимно однозначное соответствие между всеми линейными преобразованиями и всеми квадратными матрицами порядка n.
Операции умножения матриц будет соответствовать аналогичная операция над линейными пространствами.
Пусть в линейном пространстве даны линейные преобразования φ и ψ. Назовем произведением этих преобразований такое преобразование φψ, что:
a(φψ) = (aφ)ψ
т. е. получающееся в результате последовательного применения преобразований φ и ψ.
Преобразование φψ является линейным: для любых векторов a и b и для любого числа α
(a+b)(φψ) = [(a+b)φ]ψ = (aφ+bφ)ψ = (aφ)ψ + (bφ)ψ = a(φψ) + b(φψ) — св. 1
(αa)(φψ) = [(αa)φ]ψ = [α(aφ)]ψ = α[(aφ)ψ] = α[a(φψ)] — св. 2
Пусть матрицы линейных преобразований φ и ψ: A=(αij) и B=(βij). Тогда
ei(φψ) = (eiφ)ψ = [ ∑(j=1..n)αijej ]ψ = ∑(j=1..n)αij(ejψ) = ∑(j=1..n)αij [∑(k=1..n)βjkek] = ∑(k=1..n) [ ∑(j=1..n) αij*βjk ] ek = e(φψ) = (AB)e
Матрица произведения линейных преобразований равна произведению матриц линейных преобразований.
Линейное преобразование B называется обратным к линейному преобразованию A и обозначается A^-1 если BA=E; AB=E
Если линейное преобразование A переводило a в a', то B переводит a' в a.
