Преобразование координат. Матрица перехода от старой системы координат к новой. Примеры.

Матрица, задающая линейное преобразование, зависит от базиса. Покажем какова связь между матрицами, задающими в разных базисах одно линейное преобразование.

Пусть даны базисы e и e' с матрицей перехода T:

e' = Te

Пусть линейное преобразование φ задается в этих базисах матрицами A и A' соответственно:

eφ=Ae; e'φ=A'e'

(Te)φ = A'(Te)

Однако,

(Te)φ = T(eφ)

(Te)φ = T(eφ) = T(Ae) = (TA)e; A'(Te) = (A'T)e; т.е.

(TA)e=(A'T)e

Если хотя бы для одного i=1…n i-ая строка TA будет отлична от i-ой строки A'T, то две различные линейные комбинации векторов e1,e2,…,en будут равны друг другу, что противоречит линейной независимости базиса e.

Значит TA = A'T, откуда (т.к. T невырождена)

A'=TAT^-1; A = T^-1 * A' *T

Замечание: матрицы B и C подобны если C = Q^-1 * B * Q, матрица C получена трансформированием матрицы B матрицей Q

Матрицы, задающие одно и то же линейное преобразование в разных базисах, подобны между собой. При этом матрица линейного преобразования φ в базисе e' получается трансформированием матрицы этого преобразования в базисе e матрицей перехода от базиса e' к базису e.

Пример. Найти матрицу перехода

от базиса		к базису
$left[1,1,0,0,0right]$		$left[1,1,1,1,1right]$
$left[1,0,1,0,0right]$		$left[1,1,1,1,0right]$
$left[1,0,0,1,0right]$		$left[1,1,1,0,0right]$
$left[1,0,0,0,1right]$		$left[1,1,0,0,0right]$
$left[1,1,1,1,1right]$		$left[1,0,0,0,0right]$

Решение. Можно попытаться найти элементы матрицы $C_{}$ напрямую — устанавливая формулы связи между строками. В нашем конкретном примере это не очень трудно сделать — первый и четвертый столбцы матрицы $C_{}$ вообще очевидны поскольку ${mathfrak X}_1 = X_5,, {mathfrak X}_4 = X_1$ . Но мы пойдем по формальному пути и воспользуемся определяющим матричным соотношением, которое мы получили при доказательстве предыдущей теоремы. Поставим координаты базисных векторов по столбцам соответствующих матриц:

$left[{mathfrak X}_1|dots|{mathfrak X}_nright]=left[X_1|dots|X_nright]cdot C quad Rightarrow quad C= left[X_1|dots|X_nright]^{-1} cdot left[{mathfrak X}_1|dots|{mathfrak X}_nright] .$

В нашем примере имеем:

$C= left( begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 1 end{array} right)^{-1} left( begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 0 end{array} right)=$

$=frac{1}{3} left( begin{array}{rrrrr} 1 & 2 & -1 & -1 & -1 1 & -1 & 2 & -1 & -1 1 & -1 & -1 & 2 & -1 1 & -1 & -1 & -1 & 2 -1 & 1 & 1 & 1 & 1 end{array} right) left( begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 0 end{array} right) =$

$=left( begin{array}{rrrrr} 0 & 1/3 & 2/3 & 1 & 1/3 0 & 1/3 & 2/3 & 0 & 1/3 0 & 1/3 & -1/3 & 0 & 1/3 0 & -2/3 & -1/3 & 0 & 1/3 1 & 2/3 & 1/3 & 0 & -1/3 end{array} right) .$

Новые координаты выражаются через старые по формуле

$left( begin{array}{c} {mathfrak x}_1 {mathfrak x}_2 vdots {mathfrak x}_n end{array} right) =C^{-1} left( begin{array}{c} x_1 x_2 vdots x_n end{array} right),$

при этом матрицу $C^{-1}$ можно интерпретировать как матрицу перехода от нового базиса к старому.