Линейные преобразования: определение, простейшие свойства, примеры. Матрица линейного преобразования.
Рассмотрим преобразование, обозначаемое через φ, переводящее каждый вектор линейного пространства Vn в соостветсвующий ему вектор a' (образ вектора при преобразовании φ)
a' = aφ
Преобразование φ линейного пространства Vn называется линейным если сумму любых двух векторов оно переводит в сумму образов этих векторов:
(a+b)φ = aφ + bφ
а произведение вектора на число оно переводит в произведение числа на образ:
(αa)φ = α(aφ).
Св-ва:
1) Линейное преобразование переводит любую линейную комбинацию данных векторов в линейную комбинацию их образов (с теми же коэффициентами:
(α1a1 + … + αnan)φ = α1(a1φ) + … + αn(anφ)
2) При любом линейном преобразовании нулевой вектор останется неподвижным:
0φ=0
3) Образом вектора, противоположного для данного вектора a, является вектор, противоположный для образа вектора a:
(-a)φ=-aφ
Пр.:
1) Тождественное преобразование ε оставляющее всякий вектор на месте:
aε=a
2) Нулевое преобразование ω преобразующее любой вектор в нуль:
aω=0
В выбранном базисе действие любого линейного преобразования сводится к умножению матрицы линейного преобразования на координатный столбец вектора.
a'=Aa
Матрица линейного преобразования А составляется так: каждый i-ый столбец является образом i-го базисного вектора в линейном преобразовании.
В выбранном базисе действие любого линейного преобразования сводится к умножению матрицы линейного преобразования на координатный столбец вектора.
a’ = Aa
Матрица линейного преобразования А составляется так: каждый i-ый столбец является образом i-го базисного вектора в линейном преобразовании.
