Теорема: U, W — подпространства линейного пространства V, dimV=n
dim(U+W)=dimU + dimW - dim(U∩W)
Доказательство:
Пусть dimU=k; dimW=l
Пусть u1,u2,…,uk — базис U
w1,w2,…,wl — базис W
dim(U∩W)=m, m≤k, m≤l
e1,e2,…,em — базис U∩W
Дополним базис пересечения до базиса U и базиса W
e1,e2,…,em,a1,…,a(k-m) — базис U
e1,e2,…,em,b1,…,b(l-m) — базис W
v∈U+W => v=U+W
v можно разложить по векторам
e1,…,em,a1,…,a(k-m),b1,…,b(l-m)
<U+W>=<e1,…,em,a1,…,a(k-m),b1,…,b(l-m)>
Если получившаяся система векторов линейно независимая, то T доказана
Предположим что система векторов линейно зависима, тогда
∑(i=1..m)αiei + ∑(j=1..k-m)βaj + ∑(s=1..l-m)ɣsbs = 0, где не все α,β,ɣ=0
∑(i=1..m)αiei + ∑(j=1..k-m)βaj {∈U} = -∑(s=1..l-m)ɣsbs {W} =>
∈U∩W
-∑(s=1..l-m)ɣsbs = ∑(p=1..n)бp*ep => ∑бp*ep + ∑(s=1..l-m)ɣsbs = 0 => e1,…,em,b1,…,ШТО =>
∑(i=1..m)αiei + ∑(j=1..k-m)βaj=0 => αi=0, βj=0 все => вектора лин. независ.
