Пусть в n-мерном линейном пространстве даны базисы:
e1,e2,…,en (1)
e1',e2',…,en' (2)
С матрицей перехода T=(тij); e' = Te
Найдем связь между строками координат произвольного вектора a в этих базисах;
Пусть a=∑(j=1…n)αj*ej
a=∑(i=1…n)αi'ei'
Используя ei' = ∑(j=1…n)тij*ej, для i=1…n получаем
a = ∑(i=1…n)αi' [ ∑(j=1…n)тij*ej ] = ∑(j=1…n) [ ∑(i=1…n)αi'тij ] ej
αj = ∑(i=1…n) αi'тij
Т. е. имеет место матричное равенство
(α1', α2', …, αn') = (α1, α2, …, αn) * T
Строка координат вектора в базисе e' равна строке координат вектора в базисе e умноженной справа на матрицу перехода от e к e'&
отсюда следует
(α1, α2, …, αn) = (α1', α2', …, αn') * T^-1
