Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.
Пусть V — линейное пр-во, e1,e2,…,en — базис, размерность n
Если a — произвольный вектор из V, то он выражается через базис:
a=α1e1+α2e2+…+αnen
Ввиду линейной независимости базиса, это выражение будет единственным.
Если
a=α1'e1+α2'e2+…+αn'en
то
(α1-α1')e1+(α2-α2')e2+…+(αn-αn')en=0
Откуда αi = αi' для i=1,…,n
Таким образом в данном базисе вектору однозначно соответствует строка (α1, α2, …, αn) — строка его координат в данном базисе.
Как мы знаем, при изоморфном соответствии между линейными пространствами линейно зависимая система переходит в линейно зависимую, а линейно независимая в линейно независимую. Отсюда следует, что при изоморфизме базис переходит в базис.
Доказательство:
Пусть e1',e2',…,en' линейно зависимая
α1e1'+α2e2'+…+αnen' = 0' противоречит, т.к αi=0, i=1,…,n =>
e1',e2',…,en' линейно независимая => базис ▶
При изоморфизме базис переходит в базис, т.к. все базисы конечномерного ли. пр-ва содержат одинаковое кол-во векторов, равное размерности пр-ва.
