Теорема о базисе линейного пространства.
Теорема: Пусть V — линейное пр-во, e1, e2, …, en — базис.
Тогда
1) ∀U∈V, U=α1e1+α2e2+…+αnen Любой вектор линейного пространства можно единственным образом разложить по базису
2) f1, f2, …, fs, s<n — линейно независимая система векторов, то можно дополнить ее до базиса
Доказательство:
1) e1,e2,…,en — максимальная линейно независимая система, e1,e2,…,en,U — линейно зависимая система
β1e1+β2e2+…+βnen+βU=0, β≠0
U=-e1β1/β - e2β2/β - … - enβn/β
αi=-βi/β
U = α1e1+α2e2+…+αnen
Предположим что разложение не единственно:
U = α1e1+α2e2+…+αnen = ɣ1e1+ɣ2e2+…+ɣnen
(α1-ɣ1)e1+(α2-ɣ2)e2+…+(αn-ɣn)en=0
αi-ɣi=0 для всех i => разложение единственно
2) f1,…,fs,e1,…,en
Проверяем лин. завис. или лин. независ. от предыдущих векторов, если лин. завис. то вектор вычеркиваем.
Пусть после исключения останется следующая система векторов:
f1,…,fs,ei1,…,eik (1)
α1f1+…+αsfs + β1ei1+…+βk*eik=0
Пусть существует t, что βt≠0
βt*eit = -∑(i=1…s) αifi - β1*ei1 - … β(t-1)*ei(t-1) - β(t+1)*ei(t+1) - … - βk*eik
eit можно выразить через предыдущие => противоречит построению (1)
f1,…,fs,ei1,…,eik — максимально линйное независимая система векторов => количество векторов равно n => (1) — базис
