Линейное пространство: определение, примеры
Пусть дано множество V, состоящее из элементов a, b, c, обозначаемых латинскими буквами.
Пусть на множестве однозначно определен элемент a+b (сумма) и αa (произведение эл-та a на число α).
Тогда V называется линейным (векторным) пространством, а a,b,c — векторами, если они обладают следующими свойствами:
для сложения:
I. коммутативность a+b=b+a
II. ассоциативность a+(b+c)=(a+b)+c
III. нулевой элемент 0, такой что a+0=a
IV. противоположный элемент -a | a + -a = 0
для умножения:
V. α(a+b) = αa + αb
VI. a(α+β) = αa + βa
VII. (αβ)a = α(βa)
VIII. 1a=a
Примеры:
Множество векторов выходящих из начала координат (если понимать операции в геометрическом смысле).
Бесконечномерные пространства тоже бывают: a = (α1, α2, …); b=(β1, β2, …); a+b=(α1+β1, α2+β2, …); ɣa=(ɣα1, ɣα2, …)
