Напряжения в поперечных сечениях бруса при растяжении (сжатии).Расчет на прочность при растяжении(сжатии)

Напряжения в сечениях

Напряжением называют меру воздействия внутренних силовых факторов на единицу площади в рассматриваемой точке сечения бруса.

Система приложенных к телу внешних нагрузок, приводит к возникновению в его сеченияхвнутренних силы R и момента M

При этом внутренняя сила и внутренний момент воздействуют на все сечение бруса в целом.

Выделим в рассматриваемом сечении элементарную площадку dA бесконечно малой площади.

Полное напряжение – часть внутренних усилий, приходящаяся на конкретную точку сечения.

Вектор полного напряжения в точке сечения

Обозначение полного напряжения в точке – p
Единица измерения – Паскаль [Па] (Н/м²)

Ввиду того, что большинство конструкционных материалов обладает высокой прочностью часто напряжения, возникающие в них, измеряются в кратных величинах, например мегапаскаль [МПа].

В общем случае вектор полного напряжения в точке может располагаться под любым углом к сечению. В таких случаях для существенного упрощения расчетов его удобно раскладывать на составляющие (проекции):

Нормальная и касательная составляющие полного напряжения

σ – нормальное напряжение
τ – касательное напряжение

В частных случаях (например при растяжении-сжатии и кручении) в сечениях бруса имеют место только нормальные либо только касательные напряжения.

При решении таких задач, величина нормальных и касательных напряжений сравнивается с соответствующими допустимыми значениями напряжений.

Задача. Произвести полный расчет на прочность и проверить жесткость статически определимой двутавровой балки (рис. 1) при следующих данных: F=40кН, q=30 кН/м,a=0,8 м, l=4м, допустимые нормальные и касательные напряжения: [σ]=160 МПа и [τ]=100 МПа, допустимый прогиб балки [f]=l/400

Рис. 1

Решение

Определение опорных реакций

Подробно пример определения опорных реакций для балки рассмотрен здесь

Из Σm_в=0

Из Σm_А=0

Балка с эпюрами поперечных сил Q и изгибающих моментов M

Построение эпюр Q и М

Примеры построения эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M для балки

В пролете балки 0 ≤ z₂ ≤ l

Q_II= - R_B+ qz₂= - 52+30⋅z₂

Q_II(z=0)= -52 кН

Q_II(z=l)= - 52+30⋅4=68 кН

M_II=R_B z₂-qz₂²/2=52z₂-30⋅z₂²/2

M_{II (z=0)}= 0

M_{II (z=l)}= -32 кНм

На консоли l ≤ z₁ ≤ (l+a)

Q_I= - R_B+ ql - R_A=-52+30⋅4-108=-40 кН

M_I=R_B z₁-ql(z₁-l/2)+R_A(z₁-l)=52z₁-30⋅4(z₁-4/2)+108(z₁-4)

M_{I (z=l)}= -32 кНм

M_{I (z=l+a)}= 0

По этим данным построены эпюры Q и М.

Подбор сечения двутавровой балки

Так как М_mах = 45 кНм, то

W_x ≥ M_max / [σ] = 45⋅10³ / 160⋅10⁶= 0,281 м³= 281 см³.

По сортаменту выбираем двутавр № 24, для которого W_x = 289 см³, I_x= 3460 см⁴, S_max = 163 см³, h = 24 см, b_п = 11,5 см, t = 0,95 см, d = b_c = 0,56 см, h₀ = h-2t = 22,1 см.

Этот двутавр будет работать при максимальном нормальном напряжении в крайнем волокне опасного сечения.

σ_max = M_max / W_x = 45⋅10³ / 289⋅10^-6= 156⋅10⁶Па = 156 МПа

Проверка сечения балки по касательным напряжениям

Так как Q_max = 68 кН, то

Построение эпюр нормальных σ и касательных τ напряжений в неблагоприятном сечении балки:

В отношении главных напряжений неблагоприятным является сечение над левой опорой, в котором:

М = - 32 кНм и Q = 68 кН.

Значение напряжений в различных точках по высоте двутавра сведены в таблицу 1

Сечение балки с эпюрами нормальных и касательных напряжений

Таблица 1

Результаты расчета в примере

Проверка прочности балки по главным напряжениям

Наиболее опасной точкой в неблагоприятном сечении является точка 3. В этой точке σ₁=118 МПа и σ₃= -16 МПа. Проверяем прочность в этой точке по третьей гипотезе прочности согласно неравенству σ₁ - σ₃ ≤ [σ].

Так как 118 - ( -16) = 134 < 160, то выбранное сечение удовлетворяет условию прочностии по главным напряжениям.