{1.Взаимное положение плоскостей: параллельное и перпендикулярное положение плоскости.}
Параллельные- плоскости а и в парал-ны, если 2 пересекающиеся прямые а и в одной плоскости парал-ны 2-м пересекающимся прямым с и d другой плоскости (стр.48).Плоскости, заданные следами, парал-ны в том случае, когда парал-ны их одноименные следы(следы плоскости являются пресекающимися прямыми)
Перпендикулярные- плоскости а и в перепендикулярны, если 1 плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости(стр.48)
{2.Определение натуральной величины отрезка и угла наклона к плоскостям проекций методом прямоугольника.}
На рис. Показаны в аксонометрической проекции отрезок АВ и его горизонтальная проекция А`B`.Проведя прямую ВВ1,парал-ную горизонтальной проекции отрезка А`В`, получим прямоугольный треугольник АВВ1.
{8.Иновариантные свойства параллельного проецирования.}
- Проекция точки, есть точка
- Проекция прямой есть прямая(Все проецирующие прямые, проходящие через точки прямой а парал-но направлению проецирования s,образуют проецирующую, или лучевую плоскость а)рис 6 на стр 13.
- Если точка К принадлежит прямой а ,то и проекция этой точки принадлежит проекции прямой(если точка К принадлежит прямой а и плоскости а,то и проецирующий луч Lк принадлежит плоскости а. Следовательно, этот луч пересечет плоскость П1 в линии пересечения плоскостей а и П1,т.е. в точке К`, принадлежащей проекции прямой а`(рис.6)
- Если точка К делит отрезок АВ в отношении m:n и проекция этой точки делит в таком же отношении проекцию этого отрезка (рис.6 на стр 13)
- Проекция точки пересечения прямых есть точка пересечения проекций этих прямых(рис.7)
- Проекции параллельных прямых парал-ны(рис.8)
- Плоский многоугольник в общем случае проецируется в многоугольник с тем же числом вершин(искл.- многоугольник :плоская ломанная или кривая линия, расположенный в проецирующей (лучевой)плоскости. Такой многоугольник проецируется в прямую линию(рис.9))
- Прямая, парал-ная направлению проецирования, проецируется в точку(рис.9)
- Проекция плоской фигуры, парал-ной плоскости проекций, конгруэнтна этой фигуре(рис.10 на стр 14)
Следствие :1)Проекция отрезка прямой, парал-ной плоскости проекции, конгруэнтна и парал-на самому отрезку.
2)Проекция угла, стороны которого прал-ны плоскости проекций, конгруэнтна этому углу.
- Если хотябы одна сторона прямого угла прал-на плоскости проекций,то на эту плоскость проекций прямой угол проецируется без искажения (рис.11)
{4.Метод конкурирующих точек.}
Используется для определения взаимной видимости 2-х геометрических фигур
Конкурирующими точками называются такие точки пространства,у которых совпадают какие-либо две одноименные проекции.(рис. 46на стр. 32)
Заключается в определении взаимной видимости точек по их несовпадающим проекциям.
{5.Методы преобразования ортогональных проекций.}
- Плоскопараллельное перемещение (это такое перемещение геометрической фигуры в пространстве, когда все ее точки двигаются в плоскостях ,парал-ных какой-либо плоскости проекции.
- Вращение вокруг осей, перпендикулярных плоскостям проекций.
(все точки фигуры перемещаются в пространстве также в плоскостях, парал-ных плоскостям проекций, но не по произвольной траектории, а по окружностям.)
- Вращение вокруг осей, парал-ных плоскостям проекций(вращение вокруг линий уровня).
Удобный способ для определения площади, линейных и угловых размеров
- Вращение вокруг осей, принадлеащих плоскостям проекций(совмещение)
Частный случай способа вращения вокруг осей, прал-ных плоскостям проекций и представляет собой вращение плоскости вокруг одного из ее следов до совмещения с плоскостью проекций. Любая плоская фигура сохраняет свои метрические харак-тики (линейные и угловые),способ для определения формы и размеров фигур расположенных в плоскости, залданной следами.
Обратная задача-построение в плоскости общего положения плоской фигуры по заданным геометрическим параметрам.(стр.70)
- Замена плоскостей проекций.
Заключается в выборе новой плосоксти проекций: геометрическая фигура при этом не меняет своего положения в пространстве. Условие-метод Монжа(взаимная перпендикулярность плоскостей проекций, перпендикулярно одной из основных исходных плоскостей проекций.)
{6.Алгоритм решения задачи на определение точки пересечения прямой с плоскостью.}
Если прямая не лежит в плоскости и не параллельна ей, она пересекает плоскость.
Задача на определение точки пересечения прямой с плоскостью сводится к следующему:
проведению вспомогательной плоскости () через данную прямую;
нахождению линии пересечения вспомогательной плоскости с данной плоскостью;
определению точки пересечения данной прямой с линией пересечения плоскостей, а следовательно, с данной плоскостью.
- .
Следом прямой линии называется точка пересечения прямой с плоскостью проекции.
Фронтальный след прямой- это точка прямой, координата у которой равна нулю.
Горизонтальный след прямой- это такая точка этой прямой, координата z которой равна нулю.
Видимыми геометрическими фигурами будут только те,которые расположены в 1 углу. Проекции этих фигур показываются в ортогональных и аксонометрических проекциях сплошными линиями..В других пространственных углах невидимы(штрих).(стр.30)
{9.Метод замены плоскостей проекции.}
Заключается в выборе новой плоскости проекций: геометрическая фигура при этом не меняет своего положения в пространстве. Условие-метод Монжа(взаимная перпендикулярность плоскостей проекций ,перпендикулярно одной из основных исходных плоскостей проекций.)
{10.Взаимное положение прямых в пространстве.}
Две прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться и могут быть парал-ны.
- Пересекающиеся: имеют одну общую точку.
- Параллельные- прямые пересекающиеся в несобственной точке(т.е. прямые ,лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в бесконечно удаленной точке)
- Скрещивающиеся- не лежащие на одной плоскости, не имеющие общей точки
- Перпендикулярные- по свойству следует, что любой прямой угол между двумя пересекающимися прямыми проецируется без искажения, если обе стороны этого угла парал-ны плоскости проекций.
{11.Частное положение прямых в пространстве (стр.23)}
Это прямые расположенные определенным образом относительно плоскостей проекций: параллельные, перепендикулярные и принадлежащие плоскостям проекций.
- Прямые ,параллельные плоскостям проекций
1.Горизонтальная прямая h
Это прямая , парал-ная горизонтальной плоскости проекций П1.
2.Фронтальная прямая f
Это прямая, парал-ная фронтальной плоскости проекций П2.
3.Профильная прямая p
Это прямая, парал-ная плоскости проекций П3.
- Прямые, принадлежащие плоскостям проекций
Частный случай горизонтальных, фронтальных и профильных прямых
- Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций.
{12.Способ плоско- параллельного перемещения.}
Это такое перемещение геометрической фигуры в пространстве, когда все ее точки двигаются в плоскостях, парал-ных какой-либо плоскости проекций.
- При плоскопараллельном перемещении геометрической фигуры Ф,все точки которой двигаются в плоскостях, парал-ных П1,горизонтальная проекция этой фигуры перемещается ,не меняя формы и размеров(Ф`=Ф1`),а вертикальные проекции всех точек фигуры перемещаются по прямым, парал-ным оси Х.
- При плоскопараллельном перемещении геометрической фигуры Ф,все точки которой двигаются в плоскостях, парал-ных П2,фронтальная проекция этой фигуры перемещаются ,не меняя формы и размеров (Ф``=Ф1``),а горизонтальные проекции всех точек фигуры перемещаются по прямым, парал-ным оси Х(стр.58)
{13.Частное положение плоскостей в пространстве .}
Перпендикулярные:
- Горизонтально проецирующая плоскость а перпендикулярна П1.Плоскость а, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций П1,называется горизонтально проецирующей.
1.Основным сво-вом горизонтально проецирующей плоскости является то ,что любая фигура ,расположенная в этой плоскости, проецируется на П1,в прямую линию.
2.Фронтально проецирующая плоскость в перпендикулярна П2.Плоскость в, перпендикулярная фронтальной плоскости проекции П2,называется фронтально проецирующей(основное свой-во, что любая фигура расположенная в этой плоскости, проецируется на П2 в прямую линию
Параллельные:
1.Горизонтальная плоскость у парал-ная П1.Плоскость у, парал-ная плоскости П1,называется горизонтальной.
Любая фигура, расположенная в такой плоскости, проецируется на горизонтальную плоскость проекций в натуральную величину.
2.Фронтальная плоскость плоскость в парал-ная П2.Плоскость в, парал-ная плоскости П2,называется фронтальной.
Примечание.Плоскость,парал-ная одной из плоскостей проекций,является частным случаем проецирующих плоскостей
{14.Взаимное положение прямой к плоскости.(стр.45)}
- Прямая а парал-на плоскости а, если она парал-на прямой b,принадлежащей этой плоскости
- Прямая, перпендикулярная к плоскости. Прямая а перпендикулярна плоскости а, если она перпендикулярна 2-м перекрещивающимся прямым b и c этой плоскости.
Если прямые b и c ,принадлежащие плоскости а, расположены произвольно относительно плоскостей проекций, то прямые углы между прямой а и прямыми b и c спроецируются на плоскости проекций с искажениями:
Прямая а перпендикулярна плоскости а, если она перпендикулярна перпесекающимся горизонтали и фронтали h и f этой плоскости:
Следовательно, прямая а перпендикулярна плоскости а, если ее проекции перпендикулярны соответствующим проекциям горизонтали h и фронтали f этой плоскости:
Если плоскость задана следами, то горизонталью и фронталью плоскости являются ее пересекающиеся следы.
{15.Принадлежность точки и линии к поверхности.(стр.39)}
Прямая АВ принадлежит плоскости а, если две ее точки А и В принадлежат этой плоскости а,и обратное(если точки А и В принадлежат плоскости а, то прямая АВ, проходящая через эти точки ,принадлежит плоскости а).
Если следы прямой принадлежат следам плоскости, то эта прямая принадлежит плоскости.
{16.Предмет «Начертательная Геометрия»,история развития.(стр.7)}
Н.Г.- является одной из фундаментальных наук, составляющих основу инженерно-технического образования. Изучает методы изображения пространственных геометрических фигур на плоскости и способы решения метрических и позиционных задач в пространстве по этим изображениям.
Основным методом проецирования является –ортогональное. Этот метод заключается в том ,что проецирование пространственного обьекта осуществляется на две взаимно перпендикулярные плоскости лучами, перпендикулярными к этим плоскостям.
В строительстве и архитектуре для изображения конструкций и сооружений широко используются проекции с числовыми отметками и перспективные проекции.
Числовые отметки применяются при проектировании и изображении крупногабаритных инженерных сооружений, расположенных на топографической поверхности(аэродромы, строительные площадки и тд.)
Перспективные проекции представляют собой центральное проецирование геометрических фигур на специально выбранную плоскость и позволяют получить изображения инженерных сооружений ,наиболее точных для восприятия человеком.
Методы Н.Г. позволяют решать многие прикладные задачи специальных инженерных дисциплин(механика, химия, кристаллография, картография, и тд).
Н.Г. развивает у человека пространственное мышление, без которого немыслимо никакое инженерное творчество.
Н.Г. как наука была создана в конце 18века великим французским геометром и инженером Гаспаром Монжем(1746-1818).
Первые идеи об ортогональном проецировании пространственных фигур на плоскость появились еще в 16веке немецким математиком Альбрехтом Дюрером(1471-1528),он разработал метод ортогонального изображения конических сечений и пространственных кривых.
В 1637г французский геометр Рене Декарт(1596-1650) создал метод координат и заложил основы аналитической геометрии, а математик Жирар Дезарг(1593-1662) использовал этот метод координат для построения перспективных проекций и обосновал теорию аксонометрических проекций.
Величайшей заслугой Монжа явилось обобщение всех научных трудов его предшественников и создание единой математической науки об ортогональном проецировании- Н.Г..
А.А. Бетанкур- первый лектор, ученик Монжа( Августин Хосе Педро дель Кармен Доминго де Канделария де Бетанкур и Молина).
{17.Главные линии плоскости.(стр. 41)}
- Горизонталь. Горизонталью плоскости а называется прямая h,принадлежащая этой плоскости и парал-ная горизонтальной плоскости проекций П1.
- Фронталь. Фронталью плоскости в называется прямая f,принадлежащая этой плоскости и парал-ная фронтальной плоскости проекций П2.
- Линия наибольшего ската. Линией наибольшего ската плоскости у называется прямая g,принадлежащая этой плоскости и перпендикулярная ее горизонталям h или фронталям f.
{18.Многогранники.}
Многогранником называется геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками.
Плоские многоугольники, ограничивающие многогранник, являются его гранями, а линии пересечения граней- его ребрами.
Концы ребер называются вершинами многогранника(4-ые,5-ные и тд.)
Выпуклые и вогнутые. Выпуклые- если он весь расположен по одну сторону от любой его грани.
Правильный многогранник- такой выпуклый многогранник, у которого все грани - одиннаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны.
Пирамиды,призмы
Пирамидой называется такой многогранник, основание которого представляет собой любой многоугольник, а остальные грани треугольники имеющие общую вершину S.
Теорема Эйлера-во всяком выпуклом многограннике число его вершин В плюс число граней Г минус число ребер Р равно двум.(В+Г-Р=2)
Видимость ребер многогранника на ортогональном чертеже определяется с помощью следующих правил:
- Проекции ребер, которые образуют внешний контур проекций многогранника, всегда видны
- Видимость остальных ребер многогранника определяется методом конкурирующих точек
Видимость граней многогранника на ортогональном чертеже определяется с помощью следующих правил:
- Грань многогранника видна, если видны все ее ребра.
- Грань многогранника не видна, если не видно хотя бы одно ее ребро
5видов:
1.Тетраэдр-многогранники,гранями которого являются 4 правильных треугольника.(4 вершины,4 грани,6 ребер)
2.Гексаэдр(куб)-многогранник, гранями которого являются шесть квадратов.(8 вершин,6граней,12 ребер)
3.Октаэдр-многогранник,гранями которого являются восемь правильных треугольников(6вершин,8граней,12ребер)
4.Додекаэдр-многогранник,гранями которого являются 12 правильных пятиугольников(20вершин,12граней,30ребер).
5.Икосаэдр-многогранник,гранями которого являются двадцать правильных треугольников(12вершин,20граней,30ребер).
Развертываемыми поверхностями называются такие поверхности, которые могут быть совмещены с плоскостью без разрывов и складок(развертываемые).
Разверткой многогранника называется плоская фигура, состоящая из совокупности всех его граней.
{19.Поверхности вращения.}
Если поверхность рассматривать как тонкую, нерастяжимую пленку ,то некоторые поверхности путем изгибания могут быть совмещены с плоскостью.
Основные свойства разверток:
- Длины соответствующих линий на поверхности и на развертке равны
- Площадь, ограниченная линией l на поверхности, равна площади, ограниченной соответствующей ей линией Lо на развертке.
- Угол между линиями на поверхности равен углу между соответсвующими линиями на развертке.
- Прямой линии на поверхности соответствует прямая линия на развретке.
- Парал-ным прямым линиям на поверхности соответствуют парал-ные прямые линии на развертке.
- Кратчайшей линии, соеденяющей две точки на поверхности ,соответствует прямая линия на развертке.
Развертки конических поверхностей:
Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет собой круговой сектор радиуса L с углом при вершине, равным где R-радиус окружности основания конуса,L-длина образующей этого конуса.
Развертки цилиндрических поверхностей:
Развертка боковой поверхности прямого кругового цилиндра представляет собой прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра,а ширина-длине окружности основания цилиндра l=2Пr
{20.Вращения вокруг осей перпендикулярным плоскостям проекций.}
Вращение вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекции, является частным случаем параллельного перемещения. Отличие от общего случая состоит лишь в том, что за траекторию перемещения точки берется не произвольная линия, а дуга окружности, центр которой находится на оси вращения, а радиус равен расстоянию между точкой и осью вращения
Таким образом, при вращении точки вокруг оси, перпендикулярной к фронтальной плоскости проекции, фронтальная проекция точки перемещается по окружности с центром на фронтальной проекции оси вращения, а горизонтальная — по прямой, параллельной оси х.
{21.Методы проецирования}
Проецирование (лат. Projicio – бросаю вперёд) – процесс получения изображения предмета (пространственного объекта) на какой-либо поверхности с помощью световых или зрительных лучей (лучей, условно соединяющих глаз наблюдателя с какой-либо точкой пространственного объекта), которые называются проецирующими.
Известны два метода проецирования: центральное и параллельное.
Центральной проекцией точки называется точка пересечения проецирующей прямой, проходящей через центр проецирования и объект проецирования (точку), с плоскостью проекций.
Свойство 1. Каждой точке пространства соответствует единственная проекция, но каждой точке плоскости проекций соответствует множество точек пространства, лежащих на проецирующей прямой.
Свойство 2. Проекция прямой есть прямая.
Докажем данное свойство.
Соединим точки А и В между собой (Рисунок 1.2). Получим отрезок АВ, задающий прямую. Треугольник ΔSAB задает плоскость, обозначенную через σ. Известно, что две плоскости пересекаются по прямой: σ∩π1=А1В1, где А1В1 – центральная проекция прямой, заданной отрезком АВ.
Метод центрального проецирования – это модель восприятия изображения глазом, применяется главным образом при выполнении перспективных изображений строительных объектов, интерьеров, а также в кинотехнике и оптике. Метод центрального проецирования не решает основной задачи, стоящей перед инженером – точно отразить форму, размеры предмета, соотношение размеров различных элементов.
Параллельное проецирование
Рассмотрим метод параллельного проецирования. Наложим три ограничения, которые позволят нам, пусть и в ущерб наглядности изображения, получить чертёж более удобным для использования его на практике:
- Удалим оба центра проекции в бесконечность. Таким образом, добьемся того, что проецирующие лучи из каждого центра станут параллельными, а, следовательно, соотношение истинной длины любого отрезка прямой и длины его проекции будут зависеть только от угла наклона этого отрезка к плоскостям проекций и не зависят от положения центра проекций;
- Зафиксируем направление проецирования относительно плоскостей проекций;
- Расположим плоскости проекций перпендикулярно друг другу, что позволит легко переходить от изображения на плоскостях проекций к реальному объекту в пространстве.
Таким образом, наложив эти ограничения на метод центрального проецирования, мы пришли к его частному случаю – методу параллельного проецирования (Рисунок 1.3).Проецирование, при котором проецирующие лучи, проходящие через каждую точку объекта, параллельно выбранному направлению проецирования P, называется параллельным.
Рисунок 1.3 – Метод параллельного проецирования
Введём обозначения:
Р – направление проецирования;
π1 – горизонтальная плоскость проекций;
A, B – объекты проецирования – точки;
А1 и В1 – проекции точек А и В на плоскость проекций π1.
Параллельной проекцией точки называется точка пересечения проецирующей прямой, параллельной заданному направлению проецирования Р, с плоскостью проекций π1.
Проведём через точки А и В проецирующие лучи, параллельные заданному направлению проецирования Р. Проецирующий луч проведённый через точку А пересечёт плоскость проекций π1 в точке А1. Аналогично проецирующий луч, проведённый через точку Впересечет плоскость проекций в точке В1. Соединив точки А1 и В1, получим отрезок А1 В1– проекция отрезка АВ на плоскость π1.
Ортогональное проецирование. Метод Монжа
Если направление проецирования Р перпендикулярно плоскости проекций p1, то проецирование называется прямоугольным (Рисунок 1.4),или ортогональным (греч. ortos – прямой, gonia – угол), если Р не перпендикулярно π1, то проецирование называетсякосоугольным.
Четырехугольник АА1В1В задаёт плоскость γ, которая называется проецирующей, поскольку она перпендикулярна к плоскости π1(γ⊥π1). В дальнейшем будем использовать только прямоугольное проецирование.
{22.Частное положение плоскостей в пространстве(плоскости уровня)-горизонтальные и фронтальные.}
Параллельные:
1.Горизонтальная плоскость у парал-ная П1.Плоскость у, парал-ная плоскости П1,называется горизонтальной.
Любая фигура, расположенная в такой плоскости, проецируется на горизонтальную плоскость проекций в натуральную величину.
2.Фронтальная плоскость плоскость в парал-ная П2.Плоскость в, парал-ная плоскости П2,называется фронтальной.
Примечание.Плоскость,парал-ная одной из плоскостей проекций,является частным случаем проецирующих плоскостей
{23.Взаимное положение прямых.}
Две прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться и могут быть парал-ны.
- Пересекающиеся: имеют одну общую точку.
- Параллельные- прямые пересекающиеся в несобственной точке(т.е. прямые ,лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в бесконечно удаленной точке)
- Скрещивающиеся- не лежащие на одной плоскости, не имеющие общей точки
{24.Взаимное положение прямой и плоскости (прямая,принадлежащая парал-ной плоскости и пересекающиеся плоскости).}
- Прямая а парал-на плоскости а, если она парал-на прямой b,принадлежащей этой плоскости
{25.Способы задания плоскостей.(стр.34)}
На эпюре плоскость может быть задана графически одним из следующих способов:
- 3-мя точками,не лежащими на одной прямой
- Прямой и точкой вне ее
- Двумя пересекающимися прямыми
- Двумя парал-ными прямыми
- Плоской фигурой
- Следами
Следом плоскости а называется линия пересечения этой плоскости с плоскостью проекций.
{26.Система плоскостей проекции(эпюра Монжа)}
Все пространственные геометрические фигуры могут быть ориентированы относительно декартовой прямоугольной системы координатных осей-системы трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей.
Эти координатные плоскости обозначаются:
1. Горизонтальная плоскость проекций - π1;
2. Фронтальная плоскость проекций - π2;
3. Профильная плоскость проекций - π3.
Линии пересечения этих плоскостей образуют координатные оси: ось абсцисс – Х; ось ординат – Y; ось аппликат – Z. Точка О пересечения координатных осей принимается за начало координат и обозначается буквой О. Положительными направлениями осей считают: для оси x − влево от начала координат, для оси Y − в сторону зрителя от плоскости π2, для оси z – вверх от плоскости π1; противоположные направления считают отрицательными.
ри таком допущении три координатные плоскости проекций образуют четыре пространственных угла – октанта ( в общем случае – 8 октантов).
Из рис. 1.12 видно, что ось абсцисс Х делит горизонтальную плоскость проекций π1 на две части: переднюю полу π1 (оси Х и Y) и заднюю полу π1 (оси Х и - Y).
Ось абсцисс Х делит фронтальную плоскость проекций π2 также на две части: верхнюю полу π2 (оси Х и Z) и нижнюю полу π2 (оси Х и - Z).
Оси ординат Y и аппликат Z делят профильную плоскость проекций π3 на четыре части:
- Верхнюю переднюю полу π3 (оси Y и Z)
- Верхнюю заднюю полу π3 (оси –Y и Z)
- Нижнюю переднюю полу π3 (оси Y и –Z)
- Нижнюю заднюю полу π3 (оси – Y и –Z)
Для того, чтобы получить плоскую (двухмерную) модель пространственных координатных плоскостей проекций, горизонтальную π1 и профильную π3 плоскости совмещают с фронтальной π2 в том порядке как это показано стрелками
Таблица знаков координат
|
Октанты |
Знаки координат |
||
|
|
Х |
Y |
Z |
|
1 |
+ |
+ |
+ |
|
2 |
+ |
- |
+ |
|
3 |
+ |
- |
- |
|
4 |
+ |
+ |
- |
|
5 |
- |
+ |
+ |
|
6 |
- |
- |
+ |
|
7 |
- |
- |
- |
|
8 |
- |
+ |
- |
{27.Проецирование точки в 4-х пространственных углах. С билетом 26 вместе}
{28.Частное положение прямой в пространстве (билет 11)}
Прямые параллельные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются прямыми уровня
{29.Способ вращения вокруг оси парал-ных плоскостям проекции.(стр.67)}
Эффективным приемом, упрощающим решение задач, связанных с определением метрических характеристик плоских фигур, является способ вращения этих фигур вокруг их линий уровня. Путем такого вращения можно плоскость, которой принадлежит рассматриваемая фигура, поЕ;ернуть в положение, параллельное плоскости проекции. В этом случае ортогональная проекция любой принадлежащей плоскости фигуры будет конгруентна оригиналу и, следовательно, позволит определить все метрические характеристики проецируемой фигуры непосредственно по ее проекции без каких-либо дополнительных построений.
Каждая точка плоскости при ее вращении перемещается по окружности, принадлежащей плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Центр округкности будет находиться на оси вращения, а величина радиуса вращения равна расстоянию от точки до оси вращения. Если за ось вращения взята горизонталь, то окружность, представляющая траекторию движения точки, будет проецироваться на плоскость Я[ в отрезок прямой, перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали. На плоскость я2 окружность проецируется в эллипс, построение которого можно Hi; делать. Точка пересечения горизонтальных проекций горизонтали и горизонтальной проекции окружности определяет горизонтальную проекцию центра вращения.
{3.Иновариантное свойство ортогонального проецирования.}
- Проекция точки, есть точка
- Проекция прямой есть прямая(Все проецирующие прямые, проходящие через точки прямой а парал-но направлению проецирования s,образуют проецирующую, или лучевую плоскость а)рис 6 на стр 13.
- Если точка К принадлежит прямой а ,то и проекция этой точки принадлежит проекции прямой(если точка К принадлежит прямой а и плоскости а,то и проецирующий луч Lк принадлежит плоскости а. Следовательно, этот луч пересечет плоскость П1 в линии пересечения плоскостей а и П1,т.е. в точке К`, принадлежащей проекции прямой а`(рис.6)
- Если точка К делит отрезок АВ в отношении m:n и проекция этой точки делит в таком же отношении проекцию этого отрезка (рис.6 на стр 13)
- Проекция точки пересечения прямых есть точка пересечения проекций этих прямых(рис.7)
- Проекции параллельных прямых парал-ны(рис.8)
- Плоский многоугольник в общем случае проецируется в многоугольник с тем же числом вершин(искл.- многоугольник :плоская ломанная или кривая линия, расположенный в проецирующей (лучевой)плоскости. Такой многоугольник проецируется в прямую линию(рис.9))
- Прямая, парал-ная направлению проецирования, проецируется в точку(рис.9)
- Проекция плоской фигуры, парал-ной плоскости проекций, конгруэнтна этой фигуре(рис.10 на стр 14)
Следствие :1)Проекция отрезка прямой, парал-ной плоскости проекции, конгруэнтна и парал-на самому отрезку.
2)Проекция угла, стороны которого прал-ны плоскости проекций, конгруэнтна этому углу.
