1.Представление активных, реактивных и полных сопротивлений. (дейтсвительными числами, треугольниками, комплексными числами). 2.Переходный процесс при подключении катушки индуктивности к источнику постоянного тока.

1.

В цепях переменного тока выделяют следующие виды сопротивлений.

Активное. Активным называют сопротивление резистора. Условное обозначение

Единицей измерения сопротивления является Ом. Сопротивление резистора не зависит от частоты.

Реактивное. В разделе реактивные выделяют три вида сопротивлений: индуктивное xL и емкостное хс и собственно реактивное. Для индуктивного сопротивления выше была получена формула X_L = ωL. Единицей измерения индуктивного сопротивления также является Ом. Величина xL линейно зависит от частоты.

Для емкостного сопротивления выше была получена формула X_C = 1 / ωC. Единицей измерения емкостного сопротивления является Ом. Величина хс зависит от частоты по обратно-пропорциональному закону. Просто реактивным сопротивлением цепи называют величину X = X_L - X_C.

Полное сопротивление. Полным сопротивлением цепи называют величину

(2.28)

.

Из этого соотношения следует, что сопротивления Z, R и X образуют треугольник: Z – гипотенуза, R и X – катеты. Для удобства в этом треугольнике рассматривают угол φ, который определяют уравнением

(2.29)

φ = arctg((X_L - X_C) / R),

и называют углом сдвига фаз. С учетом него можно дать дополнительные связи

(2.30)

R = Z cos φ,

(2.31)

X = Z sin φ.

 Введение комплексного представления токов и напряжений требует определить и сопротивление элементов электрических цепей в комплексной форме - Z.

 Хороши известно, что сопротивление резистора определяется как отношение напряжения на резисторе к току, протекающему через него. Если напряжение и ток представлены в комплексной форме, то

Но на предыдущей лекции было установлено, что . Поэтому

  (3.1)

Таким образом видим, что комплексное сопротивление резистора выражается только действительным числом. Оно не вносит фазовых искажений между токами и напряжением. Чтобы подчеркнуть этот факт такое сопротивление часто называют активным.

  Комплексное сопротивление емкости определяется отношением

.  (3.2)

Видим, что комплексное сопротивление емкости переменному току выражается мнимым числом. Мнимая единица -j физически определяет сдвиг фаз между током и напряжением на 90о. Это хорошо согласуется с ее максимальным значением

Поэтому на емкости напряжение отстает от тока на 90о. Это означает, что сначала растет ток, протекающий через конденсатор, затем, с некоторым отставанием увеличивается заряд и напряжение.

 

 Комплексное сопротивление индуктивности определяется отношением

.  (3.4)

Коэффициент wL определяет величину сопротивления в Омах. Он пропорционален частоте, называется индуктивным сопротивлением и обозначается ХL, т.е.

.  (3.5)

Чтобы подчеркнуть тот факт, что сопротивления емкости и индуктивности выражаются мнимыми числами, их называют реактивными сопротивлениями, а конденсатор и индуктивность - реактивными элементами цепи.

 Определим теперь комплексное сопротивление электрической цепи, содержащей активные и реактивне элементы, например последовательно включенные R, L и С элементы (рис.3.1). Такая цепь представляет замкнутый контур, поэтому для нее справедлив второй закон Кирхгофа

.  (3.6)

В последнем выражении проведем замену символов мгновенных напряжений и ЭДС на их комплексные изображения по правилам, определенным в лекции 1.2. Такой прием получил название символического метода. Так как ток протекающий через все элементы последовательной цепи одинаков, то (3.6) приходит к виду

  Преобразуем это выражение к виду

.

  По определению выражение в правой части последнего равенства есть ни что иное, как комплексное сопротивление цепи рис.3.1, т.е.

  (3.7)

где R - действительная часть или активное сопротивление цепи.

- мнимая часть или реактивное сопротивление цепи.

 Выражение (3.7) представляет комплексное сопротивление в алгебраической форме. Соотношения между составляющими комплексного сопротивления находятся в полном соответствии с соотношениями для комплексного представления тока. Но для большей наглядности вводится понятие треугольника сопротивления (рис.3.2).

В треугольнике - гипотенуза определяется модулем комплексного сопротивления Z, причем

  (3.8)

Противолежащий катет - реактивным сопротивлением X, причем

  (3.9)

Угол определяет сдвиг фаз между током и напряжением, который вносится комплексным сопротивлением цепи, причем

  (3.10)

 Учитывая выражения (3.8) ¸ (3.11) легко перейти от алгебраической к тригонометрической форме комплексного сопротивления

Z  (3.12)

a применив формулу Эйлера получить показательную форму

 Z  (3.13)

 Теперь можно записать закон Ома для участка цепи без источника ЭДС в комплексном изображении

  (3.14)

Выражение (3.14) показывает, что в цепях переменного тока модуль тока определяется отношением модуля напряжения (его амплитудного значения) к модулю комплексного сопротивления, а фаза тока определяется разностью фаз напряжения и комплексного сопротивления. Отсюда вытекает еще одно полезное для практики выражение

.  (3.15)

Комплексна проводимость

 В цепях постоянного тока проводимость резистора определяется отношением тока к напряжению:

Эта величина обратно пропорциональна сопротивлению.

 В цепях переменного тока следует пользоваться понятием комплексной проводимости, которая обозначается Y и, в общем случае, содержит действительную G и мнимую В части:

 

Комплексная проводимость резистора

  (3.17)

Комплексная проводимость конденсатора

  . (3.18)

Комплексная проводимость индуктивности

  . (3.19)

 В заключение отмети, что комплексное сопротивление удобно применять для анализа участков электрической цепи с последовательным включением элементов, а комплексную проводимость - для участков с параллельным включением элементов.

2.

Катушки индуктивности в схемах постоянного тока

Первичным назначением катушки индуктивности в схеме постоянного тока является оказание противодействия в форме сопротивления. Катушки индуктивности обычно представляют собой проволочные спирали, которые создают сопротивление. Хотя резистивное сопротивление катушки индуктивности обычно низко, катушка создает противодействие. В дополнение мощность рассеивается сопротивлением катушки индуктивности.

Эффекты индуктивности проявляются, когда изменяется ток в цепи постоянного тока. Хотя ток обычно имеет фиксированную величину в работающей схеме постоянного тока, не забывайте также, что необходимо еще включать и выключать схему. Когда ток первоначально подается в схему или удаляется их схемы, имеет место его значительное изменение. Такое изменение тока заставляет катушку индуктивности противодействовать этому изменению. В результате появляется наведенное (индуктированное) напряжение, которое, как и в схеме переменного тока, противодействует изменению тока.

Наиболее значительный эффект достигается в том случае, когда ток через катушку индуктивности внезапно подавляется. Магнитное поле вокруг катушки индуктивности исчезает, индуцируя очень высокое напряжение в катушке. Это напряжение может даже приводить к повреждениям компонентов в некоторых случаях. В других применениях, наоборот, используется преимущество этого эффекта с целью формирования очень высокого напряжения для питания тех или иных специальных компонентов или цепей. Примерами могут служить трансформаторы строчной развертки в телевизионных приемниках и катушки зажигания в системах зажигания автомобилей.

Катушка индуктивности обладает способностью создавать магнитное поле. Это свойство характеризуется параметром катушки - индуктивностью (L), которая зависит от числа витков, сердечника, геометрических размеров катушки.

L = ψ/I; где ψ = W·Ф - потокосцепление катушки;

W - число витков катушки; Ф- магнитный поток; I - ток, протекающий по катушке.

Кроме индуктивности, реальная катушка обладает активным сопротивлением:

ρ - удельное сопротивление проводника катушки; l - длина проводника;

S - площадь поперечного сечения проводника катушки.

Рис. 4-1

Для удобства анализа работы катушки в цепи переменного тока условно будем считать R_к = 0. Переменный ток i = I_m sin(ωt), протекая по катушке, создает переменный магнитный поток Ф, который, пересекая витки катушки, наводит в них ЭДС самоиндукции. Согласно правила Ленца, ЭДС самоиндукции, ток самоиндукции препятствуют протеканию тока в цепи, рис. 4-1.

Тогда 

U_m/I_m = U/I = X_L = ωL (Ом) - индуктивное сопротивление катушки.

Сравнивая формулы для тока и напряжения катушки, видим, что ТОК ОТСТАЕТ по фазе от напряжения на угол 90^о.

Векторная диаграмма для индуктивности изображена на рис. 4-2.

Рис. 4-2

Схема замещения катушки с учетом активного сопротивления изображена на рис.4-3.

Рис. 4-3

По второму закону Кирхгофа для комплексных значений имеем

U = U_R + U_L.

Векторная диаграмма цепи, получившая название треугольник напряжений изображена на рис. 4-4.

Поделив каждую сторону треугольника напряжений на ток, получим подобный треугольник сопротивлений (рис.4-4б).

Z = R + jX_L - полное комплексное сопротивление цепи.

 модуль полного сопротивления.

Рис. 4-4

Умножив каждую сторону треугольника напряжений на ток, получим подобный треугольник мощностей (рис. 4-4в).

Q_L - реактивная мощность катушки идет на создание магнитного поля. Единица измерения реактивной мощности: вар – вольт - ампер реактивный;

Р - активная мощность цепи превращается в тепло. Единица измерения Вт;

S - полная мощность цепи, единица измерения ВА - вольт-ампер.

S = P + jQ - комплексное значение полной мощности.

 модуль полной мощности.

 коэффициент мощности, показывающий какая часть подведенной к цепи электрической мощности S, превращается в полезную мощность Р.