1. В § 15 было выведено выражение (15.6) для энергии электрического поля в отсутствие диэлектриков:
Эта формула остается справедливой и для случая электрического поля в произвольный среде, если только под р и а понимать плотность свободных зарядов. Влияние же диэлектрика сказывается в том, что при одном и том же распределении свободных зарядов значение потенциала (р в диэлектрике отличается от значения его в вакууме. В частности, при том же распределении свободных зарядов потенциал ф, а вместе с тем, согласно (30.1), и энергия W в однородном диэлектрике в е раз меньше, чем в вакууме.
2. Чтобы доказать справедливость формулы (30.1) в случае наличия диэлектриков, нужно было бы вычислить работу А сил поля при перемещениях как свободных зарядов, так и самих диэлектриков и показать, что
Доказательство справедливости этого соотношения при произвольных перемещениях свободных зарядов, но при неподвижности диэлектриков совершенно аналогично рассуждениям, приведшим нас в § 15 к формуле (15.6). Рассматривая перемещение заряда в] в поле заряда е2, получаем формулу (15.2)
где (ф1 — потенциал поля заряда е2 в точке нахождения заряда е. Рассматривая же перемещение заряда е2, получаем
Очевидно, что оба выражения для W должны совпадать )
Таким образом, мы вновь приходим к уравнениям (15.3), (15.4) и (15.6), что и требовалось доказать.
Конечно, уравнение (15.5) уже не имеет места при наличии диэлектриков, ибо ф1=е2/R12. Для исчерпывающего обоснования формулы (30.1) нужно еще вычислить работу А сил поля при произвольных перемещениях диэлектриков и убедиться в том, что она также равна —dW. Однако строгое проведение этого вычисления было бы не только весьма сложно, но и не могло бы быть выполнено без определенных предположений о строении и свойствах диэлектриков. Поэтому мы удовольствуемся приведенным обоснованием формулы (30.1) и обратим задачу, т. е. будем в дальнейшем рассматривать это выражение для энергии [или, точнее, выражение (30.4), — см. ниже] как один из постулатов макроскопической теории поля, следствия из которого оправдываются на опыте. В частности, мы будем с помощью (30.2) определять работу сил поля при перемещениях диэлектриков, исходя из выражения (30.1) для энергии, как из данного.
Помимо этого, мы здесь и в следующем параграфе покажем, что в тех простейших случаях, когда нетрудно непосредственно подсчитать работу сил поля при перемещениях диэлектриков, результаты подсчетов совпадают со следствиями, вытекающими из формулы (30.1).
4. Как уже упоминалось в § 16, выражение электрической энергии (30.1) по своей форме соответствует представлению о взаимодействии зарядов на расстоянии. Однако, как и в случае отсутствия диэлектриков, это выражение может быть преобразовано так, чтобы соответственно представлениям теории близ-кодействия энергию поля можно было считать распределенной с определенной объемной плотностью w по всему пространству, в котором поле отлично от нуля. Действительно, подынтегральное выражение первого из интегралов, входящих в (30.1), на основании (22.2), (432) и (10.2) может быть представлено в следующем виде:
откуда на основании теоремы laycca (17) имеем
Последний интеграл должен быть распространен, во-первых, на поверхность S, ограничивающую объем интегрирования V, и, во-вторых, на поверхности S[, выделяющие из этого объема поверхности разрыва подынтегрального выражения, т. е. поверхности разрыва нормальной слагающей вектора D (ибо потенциал (р должен быть непрерывным, поскольку мы не рассматриваем двойных электрических слоев). Если мы условимся рассматривать полное поле, то интеграл по ограничивающей его поверхности S обратится в нуль (см. с. 81). Поверхности же разрыва нормальной слагающей вектора D являются поверхностями, заряженными свободным электричеством, причем скачок этой слагающей Dn определяется уравнением (22.8). Стягивая обычным образом поверхности S[ вплоть до полного прилегания их к поверхностям разрыва S (см. с. 64), мы получим уравнение
Таким образом,
и, следовательно, энергия полного поля, согласно (30.1), равна
Это выражение можно истолковать в том смысле, что энергия электрического поля распределена по всему занимаемому им про странству с объемной плотностью w, равной
Уравнение это является одной из основных формул теории электричества. Частным случаем его при е = 1 является (16.3).
Эквивалентность выражений (30.1) и (30.4) имеет место только в постоянном электрическом поле и, как мы увидим в дальнейшем, нарушается в поле переменном. Переменное электрическое поле вообще не может быть охарактеризовано однозначным скалярным потенциалом ф, и поэтому формула (30.1), в которую входит ф, теряет смысл в переменном поле; выражение же (30.4) для энергии электрического поля остается справедливым и в переменном поле и должно поэтому рассматриваться как основное определение энергии электрического поля.
