37. Точность оценки, доверительная вероятность(надежность). Доверительный интервал.

Определение.Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, то есть приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Определение. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – началом и концом интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Пусть  - это оценка неизвестного оцениваемого параметра  . Пусть  - это некоторое положительное число. Если выполняется неравенство:

 , то говорят, что интервал  покрывает неизвестный параметр  .

Определение.Доверительным интервалом называют найденный по данным выборки интервал  , который покрывает неизвестный параметр  с заданной надежностью  .

Надежность  задается по условию задачи и обычно принимается равной 0,95, или 0,99, или 0,999.

Границы доверительного интервала и его длина находятся по выборочным данным, и являются случайными величинами. Величина доверительного интервала уменьшается с ростом объема выборки n и увеличивается с ростом доверительной вероятности γ. Если количественный признак генеральной совокупности X имеет нормальное распределение, то доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:

 , где  - математическое ожидание;

 - выборочная средняя;

 - объем выборки;

 - при большом объеме выборки;

 - значение аргумента функции Лапласа, при котором она равна  , то есть  , где  - заданная надежность. Аргумент  находится по таблицам значений функции Лапласа (приложение 2).

Данная формула доверительного интервала математического ожидания будет справедлива только при большом объеме выборки, то есть если  . В противном же случае, равенство  не будет выполнятся и считают  неизвестной величиной.