36. Генеральная средняя и выборочная средняя. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Генеральная и выборочная дисперсии. Оценка генеральной дисперсии по выборочной дисперсии, по исправленной выборочной.

Генеральная средняя и выборочная средняя

Пусть задана дискретная случайная величина Х в виде генеральной совокупности. Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности:

где x_i – варианта генеральной совокупности, n_i – частота варианты x_i,

.

N– все возможные значения частот дискретной случайной величины Х.

В частном случае, когда генеральная совокупность содержит по одному значению каждой варианты, генеральная средняя равна:

Если рассматривать значения Х генеральной совокупности как случайную величину, то математическое ожидание М(Х) равно генеральной средней М(Х)= x_г, а генеральная средняя определяется как математическое ожидание:

x_г = М(Х).

Пусть извлечена выборка объема n из генеральной совокупности относительно количественного признака X. Выборочной средней`x называется среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

где

.

В частном случае, когда выборка содержит по одному значению каждой варианты, выборочная средняя равна:

Аналогично генеральной совокупности можно сделать вывод относительно выборочной средней. Если рассматривать значения Х выборки, как случайную величину, то математическое ожидание m(Х) равно выборочной средней:

Генеральной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака X от их среднего значения x_г. Рассеяние значений количественного признака X в выборке вокруг своего среднего значения`x характеризует выборочная дисперсия. Выборочной дисперсией D_в называется среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака X от их среднего значения .

В частном случае, когда выборка содержит по одному значению каждой варианты, выборочная дисперсия равна:

Пусть из генеральной совокупности объёмом n извлечена выборка. Требуется по данным выборке оценить неизвестную генеральную дисперсию D_г.

Выборочная дисперсия является смещённой оценкой генеральной дисперсии. Отличие математического ожидания выборочной дисперсии от оцениваемой генеральной дисперсии определяется следующим соотношением:

Выборочная дисперсия может быть исправлена. Исправленная выборочная дисперсия равна:

Исправленная выборочная дисперсия (6.17) является несмещённой оценкой генеральной дисперсии. Таким образом, получена оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной дисперсии.