28. Числовые характеристики нормально распределенной случайной величины.

Определим числовые характеристики нормально распределенной случайной величины Х. Математическое ожидание:

Применяя замену переменной

(8.13)

получим

В полученном выражении первый интеграл равен нулю (интеграл в симметричных пределах от нечетной функции), а второй интеграл есть интеграл Эйлера-Пуассона:

(8.14)

Таким образом, математическое ожидание величины Х равно m:

M[X]=m.

Вычислим дисперсию СВ Х:

Применяя замену переменной (8.13) получим:

Интегрируя по частям, получим:

Первое слагаемое в фигурных скобках равно нулю (т.к. при t→∞ убывает быстрее, чем возрастает любая степень t), второе слагаемое, согласно (8.14), равно , откуда

.

Таким образом, нормальное распределение случайной величины полностью описывается двумя числовыми характеристиками: математическим ожиданием M[X] и средним квадратичным отклонением σ.