Геометрическое представление комплексных чисел. Понятие модуля, сопряженные комплексные числа

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).

Модуль комплексного числа $z$ обозначается $|z|$ и определяется выражением $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$ . Часто обозначается буквами $~r$ или $~\rho$ . Если $z$ является вещественным числом, то $|z|$ совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа.

Для любых $z, z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ имеют место следующие свойства модуля. :

1) $| z | \geqslant 0 \,$ , причём $| z | = 0 \,$ тогда и только тогда, когда $z = 0 \,$ ;

2) $| z_1 + z_2 | \leqslant | z_1 | + | z_2 | \,$ (неравенство треугольника);

3) $| z_1 \cdot z_2 | = | z_1 | \cdot | z_2 | \,$ ;

4) $| z_1 / z_2 | = | z_1 | / | z_2 | \,$ .

Из третьего свойства следует $|a\cdot z| = |a|\cdot |z|$ , где $a\in \mathbb{R}$ . Данное свойство модуля вместе с первыми двумя свойствами вводят на множестве комплексных чисел структуру двумерного нормированного пространства над полем $\mathbb{R}$ .

5) Для пары комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ модуль их разности $|z_1-z_2|$ равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Угол $\varphi$ (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу $z$ , называется аргументом числа $z$ и обозначается $~\operatorname{Arg} (z)$ .

Из этого определения следует, что $\operatorname {tg}\ \varphi = \frac {y} {x}$ ; $\cos \varphi = \frac {x} {|z|}$ ; $\sin \varphi = \frac {y} {|z|}~~$ .
Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа $z$ аргумент определяется с точностью до $2 k \pi$ , где $k$ — любое целое число.
Главным значением аргумента называется такое значение $\varphi$ , что $-\pi<\varphi\leqslant\pi$ . Часто главное значение обозначается $~\operatorname{arg} (z)$ ^[4]. Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного: $~\operatorname{arg} \left(\frac {1}{z}\right) = -\operatorname{arg}(z)$ .