Проектирование

1) Метод проецирования заключается в том, что любая из точек множества точек пространства может быть спроецирована с помощью проецирующих лучей на любую поверхность.

Центральный метод проецирования основан на том, что при проецировании на плоскость ряда точек все проецирующие лучи проходят через одну точку, называемую центром проецирования, или полюсом.

Метод параллельного проецирования заключается в том, что все проецирующие лучи, проходящие через точки, будут параллельны между собой. Этот метод вытекает из метода центрального проецирования, при этом полюс должен быть удален на бесконечно большое расстояние от плоскости, на которую проецируется предмет.

Ортогональный метод проецирования – метод, когда проецирующие лучи параллельны между собой и перпендикулярны к плоскости проекций. Данный метод – частный случай параллельного проецирования.

Основные свойства параллельного и ортогонального проектирования:

Проекцией точки является точка.
Проекцией прямой является прямая – свойство прямолинейности.
Проекцией точки, лежащей на некоторой прямой, является точка, лежащая на проекции данной прямой – свойство принадлежности.
Проекциями параллельных прямых являются параллельные прямые – свойство сохранения параллельности.
Отношение проекций отрезков, лежащих на параллельных прямых или на одной и той же прямой, равно отношению самих отрезков.
Проекция фигуры не меняется при параллельном переносе плоскости проекций.
Проекция отрезков не может быть больше самого отрезка.
Теорема о прямом угле. Если одна сторона прямого угла параллельны плоскости проекции, а вторая сторона этой плоскости не перпендикулярно, то прямой угол проекцируется на эту плоскость без изкажения.

2) Положение точки в пространстве может быть задано положением двух её ортогональных проекций, например, горизонтальной и фронтальной, фронтальной и профильной. Сочетание любых двух ортогональных проекций точки в свою очередь позволяет определить значение всех её координат и, соответственно, построить третью проекцию, определить октант, в котором она находится или плоскость проекций.

Две точки, лежащие на проецирующей прямой, называются конкурирующими. С помощью конкурирующих точек можно определять взаимную видимость геометрических фигур.

3)Линии это множество всех последовательных положений движущихся точек. Если точка движется не изменяя своего направления то образуется прямая линия. Если изменяет то кривая.

Если точка лежит на прямой, то ее проекции должны лежать на одноименных проекциях этой прямой.

Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Проекции параллельных прямых на любую плоскость (не перпендикулярную данным прямым) - параллельны

Пересекающимися называются две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку. Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций находится на одной линии связи.

Скрещивающимися называются две прямые не лежащие в одной плоскости. Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точка пересечения их одноименных проекций не лежит на одной линии связи.

4)Прямая по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

1. Прямая не параллельная ни одной плоскости проекций называется прямой общего положения.

2. Прямые параллельные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называютсяпрямыми уровня. В зависимости от того, какой плоскости проекций параллельна заданная прямая, различают:

2.1. Прямые параллельные горизонтальной плоскости проекций называются горизонтальными илигоризонталями

2.2. Прямые параллельные фронтальной плоскости проекций называются фронтальными или фронталями

2.3 Прямые параллельные профильной плоскости проекций называются профильными

3. Прямые перпендикулярные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называютсяпроецирующими. Прямая перпендикулярная одной плоскости проекций, параллельна двум другим. В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна исследуемая прямая, различают: Фронтально проецирующая прямая, Профильно проецирующая прямая, Горизонтально проецирующая прямая.

Комплексный чертёж линии представляет собой совокупность проекций точек этой линии на две или три плоскости проекций. На комплексном чертеже необходимо установить связь между проекциями точек. В этом случае линия будет определена однозначно.

5)Если одна сторона прямого угла параллельны плоскости проекции, а вторая сторона этой плоскости не перпендикулярно, то прямой угол проекцируется на эту плоскость без изкажения.

6,7)Рассмотрим некоторые способы графического задания плоскости. Положение плоскости в пространстве может быть определено:

тремя точками, не лежащими на одной прямой линии
прямой линией и точкой, не принадлежащей этой прямой
двумя пересекающимися прямыми
двумя параллельными прямыми

В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

1. Плоскость не перпендикулярная ни одной плоскости проекций называется плоскостью общего положения. Такая плоскость пересекает все плоскости проекций (имеет три следа: - горизонтальный a_П1; - фронтальный a_П2;- профильный a_П3).

2. Плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются проецирующими. В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна заданная плоскость, различают:

2.1. Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (a^П₁), называется горизонтально проецирующей плоскостью.

2.2. Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (a^П₂)- фронтально проецирующая плоскость

2.3. Плоскость, перпендикулярная профильной плоскости ( a^П₃) - профильно проецирующая плоскость.

3. Плоскости, параллельные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называютсяплоскостями уровня. В зависимости от того, какой плоскости параллельна исследуемая плоскость, различают:

3.1. Горизонтальная плоскость - плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций

3.2. Фронтальная плоскость - плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций

3.3. Профильная плоскость - плоскость, параллельная профильной плоскости проекций

8)1. Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат этой плоскости.

2. Прямая принадлежит плоскости, если имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна какой-либо прямой расположенной в этой плоскости.

Точка принадлежит плоскости если она принадлежит прямой лежащей на этой плоскостию

Среди прямых линий, принадлежащих плоскости, особое значение имеют прямые, занимающие частное положение в пространстве:

1. Горизонтали h - прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций

2. Фронтали f - прямые, расположенные в плоскости и параллельные фронтальной плоскости проекций

3. Профильные прямые р - прямые, которые находятся в данной плоскости и параллельны профильной плоскости проекций

9,10,11,12)

Поверхность — это множество всех последовательных положений движущейся линии.

Гранные поверхности образуются перемещением прямолинейной образующей по ломанной направляющей (пирамидальные, призматические).

Торсовой называется поверхность, образованная прямолинейной образующей, касающейся при своем движении во всех своих положениях некоторой пространственной кривой,называемой ребром возврата. Ребро возврата полностью задает торс и является геометрической частью определителя поверхности (цилиндрические, конические).

Линейчатая поверхность ? поверхность, образованная движением прямой линии.

Линия принадлежит поверхности, если все её точки принадлежат этой поверхности.

Точка принадлежит поверхности если она принадлежи образующей лежащей на этой поверхности или принадлежит линии параллельной направляющей.

9)Пирамидальная поверхность (рис. 2,а) — поверхность, образованная движением прямолинейной образующей по ломаной направляющей, при этом одна точка образующей неподвижна.

Определитель пирамидальной поверхности включает вершину и направляющую

Если ломанная замкнется то образуется пирамида

Пирамида — многогранник, в основании которого лежит произвольный многоугольник, а боковые грани — треугольники с общей вершиной S.

На комплексном чертеже пирамида задается проекциями ее вершин и ребер с учетом их видимости. Видимость ребра определяется с помощью конкурирующих точек (рис. 100).

10)Призматическая поверхность — поверхность (рис.2,б), образованная движением прямолинейной образующей по ломаной направляющей, при этом образующая перемещается параллельно некоторому наперед заданному направлению.
Элементы призматической поверхности аналогичны элементам пирамидальной поверхности (вершина S находится в бесконечности).
Определитель призматической поверхности включает образующую и направляющую.

Призма — многогранник, у которого основание — два одинаковых и взаимно параллельных многоугольника, а боковые грани — параллелограммы. Если ребра призмы перпендикулярны плоскости основания, такую призму называют прямой. Если у призмы ребра перпендикулярны какой-либо плоскости проекций, то боковую поверхность ее называют проецирующей

11)Коническая поверхность образуется перемещением прямолинейной образующей по криволинейной направляющей, причем все образующие имеют одну неподвижную общую точку, которая называется вершиной конической поверхности.

Определитель конической поверхности включает вершину и направляющую.

Конус - замкнутой тело, ограниченное конической поверхностью.

12)Цилиндрическая поверхность образуется перемещением прямолинейной образующей по криволинейной направляющей, при этом образующая параллельна направлению.

Определитель цилиндрической поверхности состоит из направляющей и направления, образующих.

Цилиндр - замкнутой тело, ограниченное цилиндрической поверхностью.

13, 14, 15)Линейчатой поверхностью с плоскостью параллелизма называется поверхность, образованная перемещением прямолинейной образующей по двум направляющим. При этом образующая в любом положении сохраняет параллельность некоторой заданной плоскости, которая называется плоскостью параллелизма.

Точка принадлежит поверхности если она принадлежи образующей лежащей на этой поверхности.

Линия принадлежит поверхности, если все её точки принадлежат этой поверхности.

13)Цилиндроид. Цилиндроидом называется поверхность, образованная движением прямолинейной образующей по двум направляющим кривым линиям, при этом образующая во всех положениях параллельна плоскости параллелизма.

14)Коноид. Коноидом называется поверхность, образованная движением прямолинейной образующей по двум направляющим, одна из которых кривая линия, а другая прямая, при этом образующая во всех положениях параллельна плоскости параллелизма.

15)Гиперболическим параболоидом или косой плоскостью называется поверхность, образованная движением прямолинейной образующей, параллельной плоскости параллелизма, по двум направляющим линиям – скрещивающимся прямым.

16)Поверхностью вращения общего вида называют поверхность, которая образуется произвольной кривой (плоской или пространственной) при ее вращении вокруг неподвижной оси.

В состав определителя поверхности вращения входит образующая l, ось вращения i и условие о том, что образующая вращается вокруг оси i.

Каждая точка образующей при вращении вокруг оси описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называют параллелями. Наибольшую и наименьшую параллель называют экватором и горлом.

Плоскость проходящую через ось называют меридиальной, а линии по которым эта плоскость пересекает поверхность называются меридианом.

Точка принадлежит поверхности вращения если она принадлежит окружности лежащей на поверхности.

17)Поверхности образованные вращением окружности.

Первая поверхность это сфера или шар.

Сфера образуется вращением окружности вокруг одного из своих диаметров.

Графически простые линии на поверхности сферы только окружности. Точка принадлежит сфере если она принадлежит окружности лежащей на поверхности сферы.

Вторая поверхность тор.

Тор образуется вращением окружности вокруг оси лежащей в плоскости окружности, но на являющийся её диаметром.

Точка принадлежит тору если она принадлежит окружности лежащей на поверхности тора.

18)Вращением прямой линии можно получить следующие виды поверхностей вращения:

Цилиндр вращения, если образующая параллельна оси вращения.

Конус вращения, если образующая пересекается с осью вращения.

Однополостный гиперболоид вращения, если образующая скрещивается с осью вращения.

19)Винтовые поверхности образуются винтовым движением некоторой линии – образующей.

Под винтовым движением понимается совокупность двух движений: поступательного параллельно некоторой оси, и вращательного, вокруг той же оси.

Поверхность, образованная винтовым движением прямой линии, называется линейчатой винтовой поверхностью - геликоидом (винтовое движение характеризуется вращением вокруг некоторой оси i и поступательным перемещением, параллельным этой оси).

20)Задачи, связанные с решением вопросов взаимного расположения геометрических фигур на комплексном чертеже, называются позиционными.

Задачами на принадлежность являются задачи на построение проекций: точек на линии или поверхности, линий на поверхности, линий и поверхностей, проходящих через заданные точки и линии.

Решение позиционных задач на принадлежность предполагает работу с линиями поверхности графически простыми, например прямой или окружностью. Это необходимо для того, чтобы не усложнять построений на комплексном чертеже. Для правильного выбора этих линий надо знать, какие семейства линий несет на себе та или иная поверхность.

Наиболее легкий вариант пересечения геометрических фигур, если хотя бы одна их этих фигур задана проецирующей. На пространственных моделях проецирования и на комплексных чертежах (Рис.36) хорошо видно, что одну из проекций результата пересечения долго искать не надо. Результат накладывается или полностью совпадает с вырожденной проекцией одной из пересекающихся фигур. На комплексном чертеже остается только построить вторую проекцию результата пересечения. Используя принадлежность результата пересечения к пересекающейся фигуре общего положения.

При пересечении прямой общего положения с проецирующей плоскостью (Рис.36а) горизонтальная проекция точки их пересечения – в месте пересечения проекции прямой с вырожденной проекцией плоскости. На комплексном чертеже остается построить недостающую проекцию точки пересечения, используя известное положение о принадлежности точки к прямой общего положения.

При пересечении двух плоскостей, одна из которых – проецирующая (Рис.36б), горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с вырожденной проекцией плоскости. Недостающая проекция линии пересечения строится по двум точкам, используя положение о принадлежности прямой к плоскости (в данном случае – к плоскости общего положения).

На Рис.36в принципиального отличия от предыдущего примера нет. Кроме того, что проецирующая плоскость пересекается с криволинейной поверхностью по кривой линии. Для построения второй проекции которой необходимо использовать достаточно плотный каркас из точек.

В рассмотренных примерах определение видимости можно определять без привлечения конкурирующих точек. Достаточно сопоставить положение вырожденной проекции относительно проекции второй фигуры и (условно) проекции наблюдателя.

Вид - изображение обращенной к наблюдателю видимой части поверхности предмета. Винтовая цилиндрическая линия - пространственная кривая, представляющая собой траекторию движения точки, равномерно вращающейся вокруг оси и одновременно перемещающейся поступательно в направлении этой оси.

21)Если прямая не лежит в плоскости и не параллельна ей, она пересекает плоскость.
Задача на определение точки пересечения прямой с плоскостью сводится к следующему:
1) проведению вспомогательной плоскости (Вспомогательную плоскость рекомендуется выбирать такую, которая даст наиболее простое графическое решение задачи) через данную прямую;
2) нахождению линии пересечения вспомогательной плоскости с данной плоскостью;
3) определению точки пересечения данной прямой с линией пересечения плоскостей, а следовательно, с данной плоскостью.

Метод секущих плоскостей

Сущность метода состоит в том что в качестве вспомогательных поверхностей выбирают плоскости, которые могут занимать общее положение в пространстве, быть проецирующими или плоскостями уровня. Наиболее широко используются плоскости уровня – фронтальные и горизонтальные. Чаще всего плоскости пересекают заданные поверхности по прямым и окружностям частного положения, поэтому построение их проекций не вызывает особых затруднений.

22)Пересечение двух поверхностей.

Для решения задачи такого типа применяется метод секущих плоскостей.

Метод секущих плоскостей

Алгоритм решения.

1. Вводим вспомогательную секущую поверхность

2. Определяем линии пересечения этой вспомогательной поверхности с каждой из заданных поверхностей

3. Находим точки, в которых пересекаются полученные линии пересечения. Соединяем эти точки плавной линией

23)Способы замены плоскостей проекции.

Сущность этого способа заключается в том, что пространственные положения заданных элементов остается неизменным, а изменяется система плоскостей проекций, на которых строятся новые изображения геометрических образов. Дополнительные плоскости проекции вводятся таким образом, чтобы на них интересующие нас элементы изображались в удобном для конкретной задаче положении.

Метод замены плоскостей проекции состоит в том что одна из основных плоскостей проекций заменяется новой, подходящим образом расположенной относительно проецируемой фигуры но перпендикулярной оставшейся плоскости проекции.

1) Взависемости от условий задачи выбираем новую плоскость проекции.

2) Фиксируем старую ось если она отсутствует

3) Строим от проекции точки линии связи, перпендикулярные новой оси.

4) Измеряем расстояние от старой оси до заменяемой проекции точки и откладываем его от новой оси.

24)Метод вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекции является одним из способов преобразования комплексного чертежа.

При вращении геометрической фигуры, вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекции, каждая её точка перемещается по дуге окружности, которая, в свою очередь, представляет собой плоскость уровня. Причём одна из проекций точки перемещается по дуге окружности, а вторая по прямой, параллельной оси Х.

При вращении плоской фигуры вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций, проекция ее на эту плоскость не изменяется ни по величине, ни по форме, так как не изменяется наклон плоской фигуры к этой плоскости, а меняется лишь положение этой проекции относительно линии связи.

26)Назначение теней:

Служат для придания большей наглядности и выразительности архитектурно-строительным чертежам.

Падающая тень – тень от одного объекта на другой.
Собственная тень – неосвещённая часть поверхности объекта.
Освещённая часть – та часть, на которую попадают солнечные лучи.
Контур собственной тени – граница (линия) между освещённой и неосвещённой поверхностью предмета.
Контур падающей тени – тень от контура собственной тени (на тени 5 пальцев как на руке).
Тени строятся, исходя из следующих условий:
1. Источник освещения расположен в бесконечности (солнце);
2. Все лучи параллельны;
3. Направление лучей по нисходящей диагонали куба (грани куба совпадают с плоскостями проекции), нисходящая диагональ имеет угол наклона 35?.
При проецировании её на П₁ и П₂ получаем угол 45?

27)Тенью от точки на плоскость проекций является след на этой плоскости светового луча, проходящего через заданную точку.

Тени прямых частного положения на плоскостях проекций располагаются всегда определенно и часто служат «опорными» при построении теней различных деталей, включающих такие прямые. Рассмотрим эти случаи.

Тень от прямой, на плоскость ей параллельную, располагается параллельно прямой, т.е. параллельно проекции прямой на эту плоскость и равна ей по величине. Тень от прямой на плоскость, ей перпендикулярную, располагается по проекции луча, т.е. под углом 45?. Если точка лежит на плоскости, то тень совпадает с самой точкой и такая точка называется сама себе тень.

28)Чтобы построить тень от плоской фигуры, например треугольника, падающую на плоскости проекций достаточно построить тени от вершин. Тень от плоской фигуры, на плоскость ей параллельную,изображается фигурой равной ей по величине. Поэтому достаточно построить тень от одной точки и вычертить тень в виде той же фигуры. Так, для построения тени от окружности достаточно определить тень от центра и вычертить тень в виде такой же окружности.

Тень окружности.

Тень окружности обычно строится по восьми точкам. Из них четыре – точки касания окружности к сторонам описанного около окружности квадрата, и четыре – точки пересечения окружности с диагоналями этого квадрата.

29)Для построения контура падающей тени нужно построить тени ребер и соеденить их. Если основание пирамиды расположено на горизонтальной плоскости, для построения теней ребер достаточно найти действительную и мнимую тени вершины.

Ребра, разделяющие освещенные и затемненные грани, образуют контур собственной тени.

30) Контур собственной тени цилиндра определяется двумя образующими, по которым лучевые плоскости касаются его боковой поверхности. Для нахождения контура падающей тени необходимо построить тени этих образующих и тень от верхнего основания цилиндра.

При построении тени конуса сначала строят падающую тень, с помощью которой затем определяют контур собственной тени.

31)Тенью от точки А на любую поверхность Р называется точка пересечения светового луча S, проходящего через эту точку, с поверхностью Р.

Таким образом, построение тени на любую поверхность заключается в определении точки пересечения прямой линии с поверхностью.

Тенью от точки Д на произвольный плоский геометрический объект является точка Д_s пересечения светового луча S, проходящего через точку Д, с этим объектом.

Следовательно, построение тени от точки на плоском геометрическом объекте заключается в определении точки пересечения прямой линии (светового луча) с этим объектом.

32)Тень падающая от прямой на поверхность есть линия пересечения поверхности с плоскостью проходящей через эту прямую

33)Обратным называется луч параллельный световым лучам и идущим в обратном направлении от падающей тени к источнику света.