Предикатом называется предложение с одной или несколькими переменными, обращающимися в высказывание всякий раз при подстановке вместо переменных их значений.
В зависимости от числа переменных, входящих в предложение, различают одноместные, двухместные и т.д. предикаты.
Множеством истины предиката называется множество тех значений переменных из области определения, при постановке которых предикат обращается в истинное высказывание.
Конъюнкцией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве х называется предикат, обращающийся в истинное высказывание при тех значениях х, при которых истины оба предиката.
Дизъюнкцией предикатов, заданных на множестве х, называется предикат, обращающийся в верное высказывание при тех значениях Х, при которых истинен хотя бы один из предикатов.
Импликацией предикатов, заданных на множестве х, называется предикат, обращающийся в верное высказывание тогда и только тогда, когда А превращается в истинное высказывание, а В – в ложно высказывание.
Эквиваленцией предикатов, заданных на множестве х, называется предикат, который обращается в истинное высказывание тогда, когда оба предиката при подстановке переменных обращаются в истинное высказывание или ложное.
Отрицание предиката А(х), заданного на множестве х, истинно при тех значениях х, при которых А(х) ложен. И наоборот.
Выражение «для всякого х» («для каждого х») называется квантором общности по переменной х и обозначается символом
Выражение «существует такое х, что» в логик называется квантором существования по переменной х и обозначается х
Для построения высказываний, содержащих кванторы, необходимо:
- Квантор общности заменить на квантор существования (или наоборот)
- Предикат заменить его отрицанием
Если задана словесная формулировка высказывания с квантором, то необходимо:
- Слово «любой» («каждый») заменить на слово «существует» и наоборот
- Перед глаголом поставить частицу «не»
Это правило сохраняется, если высказывание содержит несколько кванторов.
Если из А(х) следует, что В(х) и из В(х) следует А(х), то предикаты В(х) и А(х) равносильны А(х) óB(x).
Предикаты А(х) и В(х) равносильны тогда и только тогда, когда их множество истинности совпадают, т.е. Та=Тв
Если предикат А(х) следует из предиката В(х), то говорят, что предикат А(х) – достаточное условие для предиката В(х), а предикат В(х) – необходимое условие для А(х). А(х)=> В(х).
