Полярные

Пример 1

Вычислить двойной интеграл

, преобразовав его в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой сектор

круга радиусом

Решение.

Область R в полярных координатах описывается множеством

(рисунок 4). Применяя формулу

получаем

Пример 2

Вычислить интеграл

, в котором область интегрирования R представляет собой кольцо, ограниченное окружностями

Решение.

В полярных координатах область интегрирования R является полярным прямоугольником (рисунок 5):


Рис.5		Рис.6

Тогда, используя формулу

находим значение интеграла

Пример 3

Найти интеграл

, где область интегрирования R ограничена кардиоидой

(рисунок 6).

Решение.

Данный интеграл легко решается после перехода к полярным координатам.

Пример 4

Вычислить интеграл

в круге

Решение.

Область интегрирования R показана на рисунке 7.


Рис.7		Рис.8

Преобразуем уравнение окружности следующим образом:

Подставляя

, найдем уравнение окружности в полярных координатах.

Образ S области интегрирования R показан на рисунке 8. После перехода к полярным координатам вычисляем двойной интеграл.

Пример 5

Вычислить двойной интеграл

посредством преобразования в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой круг x² + y² ≤ π².

Решение.

Область интегрирования R представлена на рисунке 9.


Рис.9		Рис.10

Образ S данной области описывается множеством

и показан на рисунке 10. Запишем исходный двойной интеграл в полярных координатах.

Вычислим последний интеграл с помощью интегрирования по частям:

Пусть

. Тогда

. Следовательно,