Тейлор нормальный

Рассмотрим несколько важнейших элементарных функций и найдём для них многочлены Тейлора при $ x_0=0$ .

1. Рассмотрим функцию $ f(x)=e^x$ . Все её производные совпадают с ней: $f^{(k)}(x)=e^x$ , так что коэффициенты Тейлора в точке $ x_0=0$ равны

$\displaystyle a_k=\frac{1}{k!}f^{(k)}(0)=\frac{1}{k!}e^0=\frac{1}{k!},\; k=0,1,2,\dots,n.$

Поэтому формула Тейлора для экспоненты такова:

$\displaystyle e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}+R_n(x).$

2. Рассмотрим функцию $f(x)=\sin x$ . Её производные чередуются в таком порядке:

$\displaystyle f'(x)=\cos x,\; f''(x)=-\sin x,\; f'''(x)=-\cos x,\; f^{(4)}(x)=\sin x,$

а затем цикл повторяется. Поэтому при подстановке $ x_0=0$ также возникает повторение:

$\displaystyle f(0)=0,\;f'(0)=\cos 0=1,\;f''(0)=-\sin 0=0,\;f'''(0)=-\cos 0=-1,\; f^{(4)}(0)=\sin 0=0$

и т. д. Все производные с чётными номерами оказываются равными 0; производные с нечётными номерами $ n=2k-1$ равны 1 при $n=1,5,9,\dots$ , то есть при $k=1,3,5,\dots$ , и $ -1$ при $n=3,7,11,\dots$ , то есть при $k=2,4,6,\dots$ . Таким образом, $f^{(2k-1)}(0)=(-1)^{k-1}$ при всех $k\in\mathbb{N}$ и коэффициенты Тейлора равны

$\displaystyle a_n=\left\{\begin{array}{ll} 0,&\mbox{ при }n=2k, k=0,1,2,\dots\... ...{(-1)^{k-1}}{(2k-1)!},&\mbox{ при }n=2k-1, k=1,2,3,\dots. \end{array}\right.$

Получаем формулу Тейлора для синуса:

$\displaystyle \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots+ (-1)^{k-1}\dfrac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+R_{2k}(x).$

Заметим, что мы можем записать остаточный член $R_{2k}(x)$ вместо $R_{2k-1}(x)$ (как можно было бы подумать), поскольку можно считать, что слагаемое порядка $ 2k$ , с коэффициентом, равным 0, тоже включено в многочлен Тейлора.

3. Для функции $f(x)=\cos x$ производные также чередуются с циклом длины 4, как и для синуса. Значения в точке $ x_0=0$ имеют то же чередование:

$\displaystyle f(0)=\cos0=1,\;f'(0)=-\sin0=0,\;f''(0)=-\cos0=-1,\;f'''(0)=\sin0=0,$
$\displaystyle f^{(4)}(0)=\cos0=1,\dots$

Нетрудно видеть, что $f^{(n)}(0)=0$ при $ n=2k-1$ , $k=1,2,3,\dots,$ и $f^{(n)}(0)=(-1)^k$ при $ n=2k$ , $k=0,1,2,\dots$ . Поэтому разложение косинуса по формуле Тейлора имеет вид

$\displaystyle \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots+ (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+R_{2k+1}(x).$

Здесь мы также считаем, что последним в многочлене Тейлора выписано слагаемое, содержащее $x^{2k+1}$ с нулевым коэффициентом.