Макроскопическими называют модели, которые описывают движение автомоби- лей в усредненных терминах, таких как плотность, средняя скорость, поток и др. При таком подходе транспортный поток уподобляется движению специфической жидко- сти, поэтому модели этого класса также называют гидродинамическими.
Первая макроскопическая модель, основанная на гидродинамической аналогии, была предложена в 1955 в . Модель известна в научной литературе как LW- модель, названная так по именам авторов (Lighthill и Whitham). Обозначим через ρ(x, t) — плотность, V (x, t) — среднюю скорость автомобилей в точке дороги с коор- динатой x в момент времени t. Эти величины связаны уравнением непрерывности, выражающим «закон сохранения количества автомобилей» на дороге: (37) ∂tρ + ∂x(ρV ) = 0. Предполагается, что средняя скорость является детерминированной (убывающей) функцией плотности: (38) V (x, t) = Ve(ρ(x, t)). Подставляя (38) в (37), получаем следующее уравнение (39) ∂tρ + Ve + ρ dVe dρ ∂xρ. Уравнение (39) описывает распространение нелинейных кинематических волн со скоростью переноса c(ρ) = Ve(ρ) + ρdVe/dρ. С течением времени профиль волны может становиться все более крутым, вплоть до вертикального угла наклона, при котором образуется разрывный профиль волны (шоковые волны) [108, 109]. Во мно- гих работах разные варианты модели с шоковыми волнами были использованы для описания динамики заторов [32, 73, 20]. Хотя первоначальная LW-модель представ- ляется в настоящее время черезчур упрощенной, именно простота реализации делает возможным использование этой модели как вспомогательного инструмента при мо- делировании динамики загрузки больших транспортных сетей [18, 19]. В реальности плотность автомобилей как правило не меняется скачками, а явля- ется непрерывной функцией координат и времени. Для устранения шоковых волн в уравнение (39) был добавлен член второго порядка, описывающий диффузию плот- ности, который приводит к сглаживанию профиля волны: (40) ∂tρ + Ve∂xρ = −ρ dVe dρ ∂xρ + D∂2 xxρ.
